Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31776 / 23584
↖ ↑ ↗
← N 44.964798°
W  5.449219°		 ← 432.16 m → N 44.964798°
W  5.443726°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
N 44.960911°
W  5.449219°		 ← 432.19 m →
186 789 m²		 N 44.960911°
W  5.443726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484870910644531 y=0.359870910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484870910644531 × 216)
    floor (0.484870910644531 × 65536)
    floor (31776.5)     		tx = 31776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359870910644531 × 216)
    floor (0.359870910644531 × 65536)
    floor (23584.5)     		ty = 23584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31776 / 23584 ti = "16/31776/23584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31776/23584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31776 ÷ 216
    31776 ÷ 65536     		x = 0.48486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23584 ÷ 216
    23584 ÷ 65536     		y = 0.35986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48486328125 × 2 - 1) × π
    -0.0302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.09510681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09510681} λ = -0.09510681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880504972221191))-π/2
    2×atan(2.4121174512348)-π/2
    2×1.17779004907765-π/2
    2.3555800981553-1.57079632675     		φ = 0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09510681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.449219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31776 KachelY 23584 -0.09510681 0.78478377 -5.449219 44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 31777 KachelY 23584 -0.09501094 0.78478377 -5.443726 44.964798
    Unten links KachelX 31776 KachelY + 1 23585 -0.09510681 0.78471593 -5.449219 44.960911
    Unten rechts KachelX + 1 31777 KachelY + 1 23585 -0.09501094 0.78471593 -5.443726 44.960911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78478377-0.78471593) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dl = 432.208640000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78478377-0.78471593) × R
    6.78400000000412e-05 × 6371000     		dr = 432.208640000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09510681--0.09501094) × cos(0.78478377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 432.157444201077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09510681--0.09501094) × cos(0.78471593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		du = 432.186724764701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78478377)-sin(0.78471593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707589028452077)×R²
    abs(-0.09501094--0.09510681)×4.79390142734681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79390142734681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79390142734681e-05×40589641000000     		ar = 186788.508952032m²