Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31872 / 19584
↖ ↑ ↗
← N 58.447733°
W  4.921875°		 ← 319.61 m → N 58.447733°
W  4.916382°		 →
↑
319.63 m
↓
↑
319.63 m
↓
N 58.444858°
W  4.921875°		 ← 319.64 m →
102 162 m²		 N 58.444858°
W  4.916382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.486335754394531 y=0.298835754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.486335754394531 × 216)
    floor (0.486335754394531 × 65536)
    floor (31872.5)     		tx = 31872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298835754394531 × 216)
    floor (0.298835754394531 × 65536)
    floor (19584.5)     		ty = 19584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31872 / 19584 ti = "16/31872/19584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31872/19584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31872 ÷ 216
    31872 ÷ 65536     		x = 0.486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19584 ÷ 216
    19584 ÷ 65536     		y = 0.298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.486328125 × 2 - 1) × π
    -0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298828125 × 2 - 1) × π
    0.40234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26400016918164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.08590292} λ = -0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26400016918164))-π/2
    2×atan(3.53955201315604)-π/2
    2×1.29545085226489-π/2
    2.59090170452978-1.57079632675     		φ = 1.02010538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02010538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.447733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31872 KachelY 19584 -0.08590292 1.02010538 -4.921875 58.447733
    Oben rechts KachelX + 1 31873 KachelY 19584 -0.08580705 1.02010538 -4.916382 58.447733
    Unten links KachelX 31872 KachelY + 1 19585 -0.08590292 1.02005521 -4.921875 58.444858
    Unten rechts KachelX + 1 31873 KachelY + 1 19585 -0.08580705 1.02005521 -4.916382 58.444858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02010538-1.02005521) × R
    5.01699999999605e-05 × 6371000     		dl = 319.633069999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02010538-1.02005521) × R
    5.01699999999605e-05 × 6371000     		dr = 319.633069999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.08590292--0.08580705) × cos(1.02010538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523276153202488 × 6371000     		do = 319.610674708719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.08590292--0.08580705) × cos(1.02005521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.523318905570134 × 6371000     		du = 319.636787332016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02010538)-sin(1.02005521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523276153202488-0.523318905570134)×R²
    abs(-0.08580705--0.08590292)×4.27523676463926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27523676463926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27523676463926e-05×40589641000000     		ar = 102162.314412216m²