Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32929 / 33185
↖ ↑ ↗
← S  2.290040°
E  0.884399°		 ← 610.36 m → S  2.290040°
E  0.889893°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
S  2.295528°
E  0.884399°		 ← 610.36 m →
372 530 m²		 S  2.295528°
E  0.889893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502464294433594 y=0.506370544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502464294433594 × 216)
    floor (0.502464294433594 × 65536)
    floor (32929.5)     		tx = 32929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.506370544433594 × 216)
    floor (0.506370544433594 × 65536)
    floor (33185.5)     		ty = 33185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32929 / 33185 ti = "16/32929/33185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32929/33185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32929 ÷ 216
    32929 ÷ 65536     		x = 0.502456665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33185 ÷ 216
    33185 ÷ 65536     		y = 0.506362915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502456665039062 × 2 - 1) × π
    0.004913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.01543568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.506362915039062 × 2 - 1) × π
    -0.012725830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0399793742831268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01543568} λ = 0.01543568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0399793742831268))-π/2
    2×atan(0.960809256327641)-π/2
    2×0.765413799216334-π/2
    1.53082759843267-1.57079632675     		φ = -0.03996873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01543568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.884399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03996873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.290040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32929 KachelY 33185 0.01543568 -0.03996873 0.884399 -2.290040
    Oben rechts KachelX + 1 32930 KachelY 33185 0.01553156 -0.03996873 0.889893 -2.290040
    Unten links KachelX 32929 KachelY + 1 33186 0.01543568 -0.04006453 0.884399 -2.295528
    Unten rechts KachelX + 1 32930 KachelY + 1 33186 0.01553156 -0.04006453 0.889893 -2.295528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03996873--0.04006453) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03996873--0.04006453) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01543568-0.01553156) × cos(-0.03996873) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.999201356638942 × 6371000     		do = 610.363627520903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01543568-0.01553156) × cos(-0.04006453) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.99919752406885 × 6371000     		du = 610.36128638979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03996873)-sin(-0.04006453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999201356638942-0.99919752406885)×R²
    abs(0.01553156-0.01543568)×3.83257009273219e-06×R²
    9.58799999999996e-05×3.83257009273219e-06×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.83257009273219e-06×40589641000000     		ar = 372529.720915438m²