Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33535 / 21249
↖ ↑ ↗
← N 53.327592°
E  4.213257°		 ← 364.82 m → N 53.327592°
E  4.218750°		 →
↑
364.80 m
↓
↑
364.80 m
↓
N 53.324312°
E  4.213257°		 ← 364.85 m →
133 094 m²		 N 53.324312°
E  4.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511711120605469 y=0.324241638183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511711120605469 × 216)
    floor (0.511711120605469 × 65536)
    floor (33535.5)     		tx = 33535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324241638183594 × 216)
    floor (0.324241638183594 × 65536)
    floor (21249.5)     		ty = 21249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33535 / 21249 ti = "16/33535/21249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33535/21249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33535 ÷ 216
    33535 ÷ 65536     		x = 0.511703491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21249 ÷ 216
    21249 ÷ 65536     		y = 0.324234008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511703491210938 × 2 - 1) × π
    0.023406982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.07353520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324234008789062 × 2 - 1) × π
    0.351531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10437029344685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07353520} λ = 0.07353520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10437029344685))-π/2
    2×atan(3.01732384185457)-π/2
    2×1.25076919796296-π/2
    2.50153839592592-1.57079632675     		φ = 0.93074207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07353520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.213257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93074207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.327592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33535 KachelY 21249 0.07353520 0.93074207 4.213257 53.327592
    Oben rechts KachelX + 1 33536 KachelY 21249 0.07363108 0.93074207 4.218750 53.327592
    Unten links KachelX 33535 KachelY + 1 21250 0.07353520 0.93068481 4.213257 53.324312
    Unten rechts KachelX + 1 33536 KachelY + 1 21250 0.07363108 0.93068481 4.218750 53.324312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93074207-0.93068481) × R
    5.72599999999479e-05 × 6371000     		dl = 364.803459999668m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93074207-0.93068481) × R
    5.72599999999479e-05 × 6371000     		dr = 364.803459999668m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07353520-0.07363108) × cos(0.93074207) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.597238959628382 × 6371000     		do = 364.824302402682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07353520-0.07363108) × cos(0.93068481) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.597284884796966 × 6371000     		du = 364.852355859881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93074207)-sin(0.93068481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597238959628382-0.597284884796966)×R²
    abs(0.07363108-0.07353520)×4.59251685843709e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.59251685843709e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.59251685843709e-05×40589641000000     		ar = 133094.284844005m²