Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33540 / 21252
↖ ↑ ↗
← N 53.317749°
E  4.240722°		 ← 364.91 m → N 53.317749°
E  4.246216°		 →
↑
364.87 m
↓
↑
364.87 m
↓
N 53.314468°
E  4.240722°		 ← 364.94 m →
133 148 m²		 N 53.314468°
E  4.246216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511787414550781 y=0.324287414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511787414550781 × 216)
    floor (0.511787414550781 × 65536)
    floor (33540.5)     		tx = 33540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324287414550781 × 216)
    floor (0.324287414550781 × 65536)
    floor (21252.5)     		ty = 21252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33540 / 21252 ti = "16/33540/21252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33540/21252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33540 ÷ 216
    33540 ÷ 65536     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21252 ÷ 216
    21252 ÷ 65536     		y = 0.32427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32427978515625 × 2 - 1) × π
    0.3514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10408267204913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10408267204913))-π/2
    2×atan(3.0164561197475)-π/2
    2×1.25068329870342-π/2
    2.50136659740683-1.57079632675     		φ = 0.93057027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93057027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.317749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33540 KachelY 21252 0.07401457 0.93057027 4.240722 53.317749
    Oben rechts KachelX + 1 33541 KachelY 21252 0.07411045 0.93057027 4.246216 53.317749
    Unten links KachelX 33540 KachelY + 1 21253 0.07401457 0.93051300 4.240722 53.314468
    Unten rechts KachelX + 1 33541 KachelY + 1 21253 0.07411045 0.93051300 4.246216 53.314468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93057027-0.93051300) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dl = 364.867169999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93057027-0.93051300) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dr = 364.867169999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07411045) × cos(0.93057027) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597376745298232 × 6371000     		do = 364.90846898298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07411045) × cos(0.93051300) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597422672609978 × 6371000     		du = 364.936523749333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93057027)-sin(0.93051300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597376745298232-0.597422672609978)×R²
    abs(0.07411045-0.07401457)×4.59273117463521e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59273117463521e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59273117463521e-05×40589641000000     		ar = 133148.238555096m²