Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33552 / 21776
↖ ↑ ↗
← N 51.563412°
E  4.306641°		 ← 379.70 m → N 51.563412°
E  4.312134°		 →
↑
379.71 m
↓
↑
379.71 m
↓
N 51.559998°
E  4.306641°		 ← 379.72 m →
144 180 m²		 N 51.559998°
E  4.312134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511970520019531 y=0.332283020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511970520019531 × 216)
    floor (0.511970520019531 × 65536)
    floor (33552.5)     		tx = 33552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332283020019531 × 216)
    floor (0.332283020019531 × 65536)
    floor (21776.5)     		ty = 21776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33552 / 21776 ti = "16/33552/21776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33552/21776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33552 ÷ 216
    33552 ÷ 65536     		x = 0.511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21776 ÷ 216
    21776 ÷ 65536     		y = 0.332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07516506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332275390625 × 2 - 1) × π
    0.33544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05384480124731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07516506} λ = 0.07516506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05384480124731))-π/2
    2×atan(2.8686593673508)-π/2
    2×1.2353738227375-π/2
    2.470747645475-1.57079632675     		φ = 0.89995132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07516506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89995132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.563412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33552 KachelY 21776 0.07516506 0.89995132 4.306641 51.563412
    Oben rechts KachelX + 1 33553 KachelY 21776 0.07526093 0.89995132 4.312134 51.563412
    Unten links KachelX 33552 KachelY + 1 21777 0.07516506 0.89989172 4.306641 51.559998
    Unten rechts KachelX + 1 33553 KachelY + 1 21777 0.07526093 0.89989172 4.312134 51.559998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89995132-0.89989172) × R
    5.96000000000485e-05 × 6371000     		dl = 379.711600000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89995132-0.89989172) × R
    5.96000000000485e-05 × 6371000     		dr = 379.711600000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07516506-0.07526093) × cos(0.89995132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621648099888082 × 6371000     		do = 379.695056655371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07516506-0.07526093) × cos(0.89989172) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621694783264222 × 6371000     		du = 379.723570290579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89995132)-sin(0.89989172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621648099888082-0.621694783264222)×R²
    abs(0.07526093-0.07516506)×4.66833761396668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66833761396668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66833761396668e-05×40589641000000     		ar = 144180.03099632m²