Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33600 / 21312
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E  4.570312°		 ← 366.56 m → N 53.120405°
E  4.575805°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
N 53.117108°
E  4.570312°		 ← 366.58 m →
134 380 m²		 N 53.117108°
E  4.575805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512702941894531 y=0.325202941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512702941894531 × 216)
    floor (0.512702941894531 × 65536)
    floor (33600.5)     		tx = 33600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325202941894531 × 216)
    floor (0.325202941894531 × 65536)
    floor (21312.5)     		ty = 21312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33600 / 21312 ti = "16/33600/21312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33600/21312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33600 ÷ 216
    33600 ÷ 65536     		x = 0.5126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21312 ÷ 216
    21312 ÷ 65536     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5126953125 × 2 - 1) × π
    0.025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07976700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07976700} λ = 0.07976700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07976700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33600 KachelY 21312 0.07976700 0.92712597 4.570312 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 33601 KachelY 21312 0.07986287 0.92712597 4.575805 53.120405
    Unten links KachelX 33600 KachelY + 1 21313 0.07976700 0.92706843 4.570312 53.117108
    Unten rechts KachelX + 1 33601 KachelY + 1 21313 0.07986287 0.92706843 4.575805 53.117108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92706843) × R
    5.75399999999116e-05 × 6371000     		dl = 366.587339999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92706843) × R
    5.75399999999116e-05 × 6371000     		dr = 366.587339999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07976700-0.07986287) × cos(0.92712597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 366.555356438399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07976700-0.07986287) × cos(0.92706843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		du = 366.583468044899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92706843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.600181414969895)×R²
    abs(0.07986287-0.07976700)×4.60251627176778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60251627176778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60251627176778e-05×40589641000000     		ar = 134379.705795742m²