Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33666 / 22146
↖ ↑ ↗
← N 50.282319°
E  4.932861°		 ← 390.34 m → N 50.282319°
E  4.938355°		 →
↑
390.35 m
↓
↑
390.35 m
↓
N 50.278809°
E  4.932861°		 ← 390.37 m →
152 374 m²		 N 50.278809°
E  4.938355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513710021972656 y=0.337928771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513710021972656 × 216)
    floor (0.513710021972656 × 65536)
    floor (33666.5)     		tx = 33666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337928771972656 × 216)
    floor (0.337928771972656 × 65536)
    floor (22146.5)     		ty = 22146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33666 / 22146 ti = "16/33666/22146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33666/22146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33666 ÷ 216
    33666 ÷ 65536     		x = 0.513702392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22146 ÷ 216
    22146 ÷ 65536     		y = 0.337921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513702392578125 × 2 - 1) × π
    0.02740478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08609467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337921142578125 × 2 - 1) × π
    0.32415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01837149552847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08609467} λ = 0.08609467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01837149552847))-π/2
    2×atan(2.76868227918885)-π/2
    2×1.2241941783599-π/2
    2.4483883567198-1.57079632675     		φ = 0.87759203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08609467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.932861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87759203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.282319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33666 KachelY 22146 0.08609467 0.87759203 4.932861 50.282319
    Oben rechts KachelX + 1 33667 KachelY 22146 0.08619055 0.87759203 4.938355 50.282319
    Unten links KachelX 33666 KachelY + 1 22147 0.08609467 0.87753076 4.932861 50.278809
    Unten rechts KachelX + 1 33667 KachelY + 1 22147 0.08619055 0.87753076 4.938355 50.278809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87759203-0.87753076) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dl = 390.351170000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87759203-0.87753076) × R
    6.12700000000022e-05 × 6371000     		dr = 390.351170000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08609467-0.08619055) × cos(0.87759203) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.639005211301205 × 6371000     		do = 390.33727905108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08609467-0.08619055) × cos(0.87753076) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.639052339133115 × 6371000     		du = 390.366067156952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87759203)-sin(0.87753076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639005211301205-0.639052339133115)×R²
    abs(0.08619055-0.08609467)×4.71278319107427e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.71278319107427e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.71278319107427e-05×40589641000000     		ar = 152374.232355281m²