Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33672 / 22152
↖ ↑ ↗
← N 50.261254°
E  4.965820°		 ← 390.51 m → N 50.261254°
E  4.971314°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
N 50.257742°
E  4.965820°		 ← 390.54 m →
152 516 m²		 N 50.257742°
E  4.971314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513801574707031 y=0.338020324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513801574707031 × 216)
    floor (0.513801574707031 × 65536)
    floor (33672.5)     		tx = 33672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338020324707031 × 216)
    floor (0.338020324707031 × 65536)
    floor (22152.5)     		ty = 22152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33672 / 22152 ti = "16/33672/22152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33672/22152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33672 ÷ 216
    33672 ÷ 65536     		x = 0.5137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22152 ÷ 216
    22152 ÷ 65536     		y = 0.3380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5137939453125 × 2 - 1) × π
    0.027587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08666991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3380126953125 × 2 - 1) × π
    0.323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01779625273303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08666991} λ = 0.08666991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01779625273303))-π/2
    2×atan(2.76709007265146)-π/2
    2×1.22401034612413-π/2
    2.44802069224825-1.57079632675     		φ = 0.87722437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08666991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.965820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87722437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.261254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33672 KachelY 22152 0.08666991 0.87722437 4.965820 50.261254
    Oben rechts KachelX + 1 33673 KachelY 22152 0.08676579 0.87722437 4.971314 50.261254
    Unten links KachelX 33672 KachelY + 1 22153 0.08666991 0.87716307 4.965820 50.257742
    Unten rechts KachelX + 1 33673 KachelY + 1 22153 0.08676579 0.87716307 4.971314 50.257742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87722437-0.87716307) × R
    6.12999999999309e-05 × 6371000     		dl = 390.542299999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87722437-0.87716307) × R
    6.12999999999309e-05 × 6371000     		dr = 390.542299999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08666991-0.08676579) × cos(0.87722437) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639287973062668 × 6371000     		do = 390.510004491501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08666991-0.08676579) × cos(0.87716307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		du = 390.538797893188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87722437)-sin(0.87716307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639287973062668-0.639335109564141)×R²
    abs(0.08676579-0.08666991)×4.7136501473144e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7136501473144e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7136501473144e-05×40589641000000     		ar = 152516.297895339m²