Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33856 / 23616
↖ ↑ ↗
← N 44.840291°
E  5.976562°		 ← 433.14 m → N 44.840291°
E  5.982056°		 →
↑
433.10 m
↓
↑
433.10 m
↓
N 44.836396°
E  5.976562°		 ← 433.17 m →
187 599 m²		 N 44.836396°
E  5.982056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516609191894531 y=0.360359191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516609191894531 × 216)
    floor (0.516609191894531 × 65536)
    floor (33856.5)     		tx = 33856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360359191894531 × 216)
    floor (0.360359191894531 × 65536)
    floor (23616.5)     		ty = 23616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33856 / 23616 ti = "16/33856/23616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33856/23616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33856 ÷ 216
    33856 ÷ 65536     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23616 ÷ 216
    23616 ÷ 65536     		y = 0.3603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.877437010645508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877437010645508))-π/2
    2×atan(2.40472850787118)-π/2
    2×1.17670351809762-π/2
    2.35340703619524-1.57079632675     		φ = 0.78261071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78261071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.840291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33856 KachelY 23616 0.10431069 0.78261071 5.976562 44.840291
    Oben rechts KachelX + 1 33857 KachelY 23616 0.10440657 0.78261071 5.982056 44.840291
    Unten links KachelX 33856 KachelY + 1 23617 0.10431069 0.78254273 5.976562 44.836396
    Unten rechts KachelX + 1 33857 KachelY + 1 23617 0.10440657 0.78254273 5.982056 44.836396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78261071-0.78254273) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dl = 433.1005800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78261071-0.78254273) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dr = 433.1005800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10440657) × cos(0.78261071) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		do = 433.139549076022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10440657) × cos(0.78254273) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.709122992065756 × 6371000     		du = 433.168829205425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78261071)-sin(0.78254273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709075058762226-0.709122992065756)×R²
    abs(0.10440657-0.10431069)×4.79333035294793e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.79333035294793e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.79333035294793e-05×40589641000000     		ar = 187599.330618651m²