Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33888 / 22112
↖ ↑ ↗
← N 50.401515°
E  6.152344°		 ← 389.32 m → N 50.401515°
E  6.157837°		 →
↑
389.33 m
↓
↑
389.33 m
↓
N 50.398014°
E  6.152344°		 ← 389.35 m →
151 580 m²		 N 50.398014°
E  6.157837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517097473144531 y=0.337409973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517097473144531 × 216)
    floor (0.517097473144531 × 65536)
    floor (33888.5)     		tx = 33888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337409973144531 × 216)
    floor (0.337409973144531 × 65536)
    floor (22112.5)     		ty = 22112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33888 / 22112 ti = "16/33888/22112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33888/22112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33888 ÷ 216
    33888 ÷ 65536     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22112 ÷ 216
    22112 ÷ 65536     		y = 0.33740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33740234375 × 2 - 1) × π
    0.3251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02163120470264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02163120470264))-π/2
    2×atan(2.77772210380975)-π/2
    2×1.2252343585766-π/2
    2.45046871715321-1.57079632675     		φ = 0.87967239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87967239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.401515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33888 KachelY 22112 0.10737866 0.87967239 6.152344 50.401515
    Oben rechts KachelX + 1 33889 KachelY 22112 0.10747453 0.87967239 6.157837 50.401515
    Unten links KachelX 33888 KachelY + 1 22113 0.10737866 0.87961128 6.152344 50.398014
    Unten rechts KachelX + 1 33889 KachelY + 1 22113 0.10747453 0.87961128 6.157837 50.398014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dl = 389.331809999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87967239-0.87961128) × R
    6.11099999999754e-05 × 6371000     		dr = 389.331809999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.10747453) × cos(0.87967239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637403611766001 × 6371000     		do = 389.318330620493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.10747453) × cos(0.87961128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637450697670241 × 6371000     		du = 389.347090114942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87967239)-sin(0.87961128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637403611766001-0.637450697670241)×R²
    abs(0.10747453-0.10737866)×4.70859042391858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70859042391858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70859042391858e-05×40589641000000     		ar = 151579.608866382m²