Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33921 / 22143
↖ ↑ ↗
← N 50.292849°
E  6.333618°		 ← 390.21 m → N 50.292849°
E  6.339111°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
N 50.289339°
E  6.333618°		 ← 390.24 m →
152 275 m²		 N 50.289339°
E  6.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517601013183594 y=0.337882995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517601013183594 × 216)
    floor (0.517601013183594 × 65536)
    floor (33921.5)     		tx = 33921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337882995605469 × 216)
    floor (0.337882995605469 × 65536)
    floor (22143.5)     		ty = 22143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33921 / 22143 ti = "16/33921/22143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33921/22143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33921 ÷ 216
    33921 ÷ 65536     		x = 0.517593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22143 ÷ 216
    22143 ÷ 65536     		y = 0.337875366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517593383789062 × 2 - 1) × π
    0.035186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11054249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337875366210938 × 2 - 1) × π
    0.324249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01865911692619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11054249} λ = 0.11054249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01865911692619))-π/2
    2×atan(2.76947872598792)-π/2
    2×1.22428606398069-π/2
    2.44857212796137-1.57079632675     		φ = 0.87777580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11054249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87777580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.292849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33921 KachelY 22143 0.11054249 0.87777580 6.333618 50.292849
    Oben rechts KachelX + 1 33922 KachelY 22143 0.11063836 0.87777580 6.339111 50.292849
    Unten links KachelX 33921 KachelY + 1 22144 0.11054249 0.87771455 6.333618 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 33922 KachelY + 1 22144 0.11063836 0.87771455 6.339111 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87777580-0.87771455) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87777580-0.87771455) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11054249-0.11063836) × cos(0.87777580) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		do = 390.210222724024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11054249-0.11063836) × cos(0.87771455) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 390.239002824292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87777580)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63886384418597-0.638910963826672)×R²
    abs(0.11063836-0.11054249)×4.71196407020313e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.71196407020313e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.71196407020313e-05×40589641000000     		ar = 152274.911786861m²