Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33928 / 21640
↖ ↑ ↗
← N 52.025459°
E  6.372070°		 ← 375.82 m → N 52.025459°
E  6.377563°		 →
↑
375.89 m
↓
↑
375.89 m
↓
N 52.022078°
E  6.372070°		 ← 375.85 m →
141 274 m²		 N 52.022078°
E  6.377563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517707824707031 y=0.330207824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517707824707031 × 216)
    floor (0.517707824707031 × 65536)
    floor (33928.5)     		tx = 33928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330207824707031 × 216)
    floor (0.330207824707031 × 65536)
    floor (21640.5)     		ty = 21640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33928 / 21640 ti = "16/33928/21640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33928/21640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33928 ÷ 216
    33928 ÷ 65536     		x = 0.5177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21640 ÷ 216
    21640 ÷ 65536     		y = 0.3302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3302001953125 × 2 - 1) × π
    0.339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06688363794397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11121361} λ = 0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06688363794397))-π/2
    2×atan(2.90630826389374)-π/2
    2×1.23940593713351-π/2
    2.47881187426701-1.57079632675     		φ = 0.90801555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90801555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.025459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33928 KachelY 21640 0.11121361 0.90801555 6.372070 52.025459
    Oben rechts KachelX + 1 33929 KachelY 21640 0.11130948 0.90801555 6.377563 52.025459
    Unten links KachelX 33928 KachelY + 1 21641 0.11121361 0.90795655 6.372070 52.022078
    Unten rechts KachelX + 1 33929 KachelY + 1 21641 0.11130948 0.90795655 6.377563 52.022078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90801555-0.90795655) × R
    5.90000000000312e-05 × 6371000     		dl = 375.889000000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90801555-0.90795655) × R
    5.90000000000312e-05 × 6371000     		dr = 375.889000000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11121361-0.11130948) × cos(0.90801555) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615311270678919 × 6371000     		do = 375.824598873835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11121361-0.11130948) × cos(0.90795655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615357778377996 × 6371000     		du = 375.853005207642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90801555)-sin(0.90795655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615311270678919-0.615357778377996)×R²
    abs(0.11130948-0.11121361)×4.65076990768809e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65076990768809e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65076990768809e-05×40589641000000     		ar = 141273.671501248m²