Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33976 / 21944
↖ ↑ ↗
← N 50.986099°
E  6.635742°		 ← 384.50 m → N 50.986099°
E  6.641235°		 →
↑
384.55 m
↓
↑
384.55 m
↓
N 50.982641°
E  6.635742°		 ← 384.52 m →
147 865 m²		 N 50.982641°
E  6.641235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518440246582031 y=0.334846496582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518440246582031 × 216)
    floor (0.518440246582031 × 65536)
    floor (33976.5)     		tx = 33976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334846496582031 × 216)
    floor (0.334846496582031 × 65536)
    floor (21944.5)     		ty = 21944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33976 / 21944 ti = "16/33976/21944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33976/21944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33976 ÷ 216
    33976 ÷ 65536     		x = 0.5184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21944 ÷ 216
    21944 ÷ 65536     		y = 0.3348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5184326171875 × 2 - 1) × π
    0.036865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11581555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3348388671875 × 2 - 1) × π
    0.330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03773800297498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11581555} λ = 0.11581555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03773800297498))-π/2
    2×atan(2.82282456645666)-π/2
    2×1.23033581295576-π/2
    2.46067162591151-1.57079632675     		φ = 0.88987530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11581555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88987530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.986099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33976 KachelY 21944 0.11581555 0.88987530 6.635742 50.986099
    Oben rechts KachelX + 1 33977 KachelY 21944 0.11591142 0.88987530 6.641235 50.986099
    Unten links KachelX 33976 KachelY + 1 21945 0.11581555 0.88981494 6.635742 50.982641
    Unten rechts KachelX + 1 33977 KachelY + 1 21945 0.11591142 0.88981494 6.641235 50.982641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88987530-0.88981494) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dl = 384.553559999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88987530-0.88981494) × R
    6.03599999999815e-05 × 6371000     		dr = 384.553559999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11581555-0.11591142) × cos(0.88987530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629508922526655 × 6371000     		do = 384.49635098515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11581555-0.11591142) × cos(0.88981494) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629555820692672 × 6371000     		du = 384.524995811389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88987530)-sin(0.88981494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629508922526655-0.629555820692672)×R²
    abs(0.11591142-0.11581555)×4.68981660169954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68981660169954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68981660169954e-05×40589641000000     		ar = 147864.948357845m²