Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33985 / 21955
↖ ↑ ↗
← N 50.948045°
E  6.685180°		 ← 384.85 m → N 50.948045°
E  6.690674°		 →
↑
384.87 m
↓
↑
384.87 m
↓
N 50.944584°
E  6.685180°		 ← 384.88 m →
148 124 m²		 N 50.944584°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518577575683594 y=0.335014343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518577575683594 × 216)
    floor (0.518577575683594 × 65536)
    floor (33985.5)     		tx = 33985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335014343261719 × 216)
    floor (0.335014343261719 × 65536)
    floor (21955.5)     		ty = 21955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33985 / 21955 ti = "16/33985/21955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33985/21955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33985 ÷ 216
    33985 ÷ 65536     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21955 ÷ 216
    21955 ÷ 65536     		y = 0.335006713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335006713867188 × 2 - 1) × π
    0.329986572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03668339118333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03668339118333))-π/2
    2×atan(2.8198491516127)-π/2
    2×1.23000373317461-π/2
    2.46000746634922-1.57079632675     		φ = 0.88921114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88921114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.948045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33985 KachelY 21955 0.11667841 0.88921114 6.685180 50.948045
    Oben rechts KachelX + 1 33986 KachelY 21955 0.11677429 0.88921114 6.690674 50.948045
    Unten links KachelX 33985 KachelY + 1 21956 0.11667841 0.88915073 6.685180 50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 33986 KachelY + 1 21956 0.11677429 0.88915073 6.690674 50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88921114-0.88915073) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dl = 384.872110000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88921114-0.88915073) × R
    6.04100000000107e-05 × 6371000     		dr = 384.872110000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.88921114) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.630024831487299 × 6371000     		do = 384.851600750794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.88915073) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 384.880256859894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88921114)-sin(0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630024831487299-0.630071743232689)×R²
    abs(0.11677429-0.11667841)×4.69117453893997e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.69117453893997e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.69117453893997e-05×40589641000000     		ar = 148124.162131801m²