Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33986 / 21954
↖ ↑ ↗
← N 50.951506°
E  6.690674°		 ← 384.78 m → N 50.951506°
E  6.696167°		 →
↑
384.81 m
↓
↑
384.81 m
↓
N 50.948045°
E  6.690674°		 ← 384.81 m →
148 073 m²		 N 50.948045°
E  6.696167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518592834472656 y=0.334999084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518592834472656 × 216)
    floor (0.518592834472656 × 65536)
    floor (33986.5)     		tx = 33986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334999084472656 × 216)
    floor (0.334999084472656 × 65536)
    floor (21954.5)     		ty = 21954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33986 / 21954 ti = "16/33986/21954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33986/21954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33986 ÷ 216
    33986 ÷ 65536     		x = 0.518585205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21954 ÷ 216
    21954 ÷ 65536     		y = 0.334991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518585205078125 × 2 - 1) × π
    0.03717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11677429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334991455078125 × 2 - 1) × π
    0.33001708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03677926498257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11677429} λ = 0.11677429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03677926498257))-π/2
    2×atan(2.82011951422429)-π/2
    2×1.23003393348744-π/2
    2.46006786697489-1.57079632675     		φ = 0.88927154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11677429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.690674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88927154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.951506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33986 KachelY 21954 0.11677429 0.88927154 6.690674 50.951506
    Oben rechts KachelX + 1 33987 KachelY 21954 0.11687016 0.88927154 6.696167 50.951506
    Unten links KachelX 33986 KachelY + 1 21955 0.11677429 0.88921114 6.690674 50.948045
    Unten rechts KachelX + 1 33987 KachelY + 1 21955 0.11687016 0.88921114 6.696167 50.948045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88927154-0.88921114) × R
    6.03999999999605e-05 × 6371000     		dl = 384.808399999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88927154-0.88921114) × R
    6.03999999999605e-05 × 6371000     		dr = 384.808399999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11677429-0.11687016) × cos(0.88927154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629977925208848 × 6371000     		do = 384.78281208753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11677429-0.11687016) × cos(0.88921114) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630024831487299 × 6371000     		du = 384.811461868745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88927154)-sin(0.88921114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629977925208848-0.630024831487299)×R²
    abs(0.11687016-0.11677429)×4.69062784516083e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69062784516083e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69062784516083e-05×40589641000000     		ar = 148073.170650167m²