Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33993 / 21959
↖ ↑ ↗
← N 50.934200°
E  6.729126°		 ← 384.97 m → N 50.934200°
E  6.734619°		 →
↑
384.94 m
↓
↑
384.94 m
↓
N 50.930738°
E  6.729126°		 ← 384.99 m →
148 193 m²		 N 50.930738°
E  6.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518699645996094 y=0.335075378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518699645996094 × 216)
    floor (0.518699645996094 × 65536)
    floor (33993.5)     		tx = 33993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335075378417969 × 216)
    floor (0.335075378417969 × 65536)
    floor (21959.5)     		ty = 21959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33993 / 21959 ti = "16/33993/21959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33993/21959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33993 ÷ 216
    33993 ÷ 65536     		x = 0.518692016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21959 ÷ 216
    21959 ÷ 65536     		y = 0.335067749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518692016601562 × 2 - 1) × π
    0.037384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11744540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335067749023438 × 2 - 1) × π
    0.329864501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03629989598637
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11744540} λ = 0.11744540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03629989598637))-π/2
    2×atan(2.81876796033599)-π/2
    2×1.22988290943676-π/2
    2.45976581887353-1.57079632675     		φ = 0.88896949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11744540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.729126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88896949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.934200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33993 KachelY 21959 0.11744540 0.88896949 6.729126 50.934200
    Oben rechts KachelX + 1 33994 KachelY 21959 0.11754128 0.88896949 6.734619 50.934200
    Unten links KachelX 33993 KachelY + 1 21960 0.11744540 0.88890907 6.729126 50.930738
    Unten rechts KachelX + 1 33994 KachelY + 1 21960 0.11754128 0.88890907 6.734619 50.930738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88896949-0.88890907) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dl = 384.935820000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88896949-0.88890907) × R
    6.0420000000061e-05 × 6371000     		dr = 384.935820000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11744540-0.11754128) × cos(0.88896949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630212472436217 × 6371000     		do = 384.966221502093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11744540-0.11754128) × cos(0.88890907) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.630259382746591 × 6371000     		du = 384.994876734612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88896949)-sin(0.88890907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630212472436217-0.630259382746591)×R²
    abs(0.11754128-0.11744540)×4.69103103732937e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69103103732937e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69103103732937e-05×40589641000000     		ar = 148192.8034042m²