Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33994 / 21962
↖ ↑ ↗
← N 50.923813°
E  6.734619°		 ← 385.01 m → N 50.923813°
E  6.740112°		 →
↑
385.06 m
↓
↑
385.06 m
↓
N 50.920350°
E  6.734619°		 ← 385.04 m →
148 259 m²		 N 50.920350°
E  6.740112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518714904785156 y=0.335121154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518714904785156 × 216)
    floor (0.518714904785156 × 65536)
    floor (33994.5)     		tx = 33994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335121154785156 × 216)
    floor (0.335121154785156 × 65536)
    floor (21962.5)     		ty = 21962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33994 / 21962 ti = "16/33994/21962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33994/21962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33994 ÷ 216
    33994 ÷ 65536     		x = 0.518707275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21962 ÷ 216
    21962 ÷ 65536     		y = 0.335113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518707275390625 × 2 - 1) × π
    0.03741455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11754128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335113525390625 × 2 - 1) × π
    0.32977294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03601227458865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11754128} λ = 0.11754128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03601227458865))-π/2
    2×atan(2.817957338937)-π/2
    2×1.22979226802095-π/2
    2.4595845360419-1.57079632675     		φ = 0.88878821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11754128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.734619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88878821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.923813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33994 KachelY 21962 0.11754128 0.88878821 6.734619 50.923813
    Oben rechts KachelX + 1 33995 KachelY 21962 0.11763715 0.88878821 6.740112 50.923813
    Unten links KachelX 33994 KachelY + 1 21963 0.11754128 0.88872777 6.734619 50.920350
    Unten rechts KachelX + 1 33995 KachelY + 1 21963 0.11763715 0.88872777 6.740112 50.920350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88878821-0.88872777) × R
    6.04399999999394e-05 × 6371000     		dl = 385.063239999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88878821-0.88872777) × R
    6.04399999999394e-05 × 6371000     		dr = 385.063239999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11754128-0.11763715) × cos(0.88878821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.630353211990905 × 6371000     		do = 385.012032664254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11754128-0.11763715) × cos(0.88872777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.63040013092298 × 6371000     		du = 385.040690174147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88878821)-sin(0.88872777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630353211990905-0.63040013092298)×R²
    abs(0.11763715-0.11754128)×4.69189320749797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69189320749797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69189320749797e-05×40589641000000     		ar = 148259.498258531m²