Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34000 / 21904
↖ ↑ ↗
← N 51.124213°
E  6.767578°		 ← 383.35 m → N 51.124213°
E  6.773071°		 →
↑
383.41 m
↓
↑
383.41 m
↓
N 51.120765°
E  6.767578°		 ← 383.38 m →
146 985 m²		 N 51.120765°
E  6.773071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518806457519531 y=0.334236145019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518806457519531 × 216)
    floor (0.518806457519531 × 65536)
    floor (34000.5)     		tx = 34000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334236145019531 × 216)
    floor (0.334236145019531 × 65536)
    floor (21904.5)     		ty = 21904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34000 / 21904 ti = "16/34000/21904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34000/21904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34000 ÷ 216
    34000 ÷ 65536     		x = 0.518798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21904 ÷ 216
    21904 ÷ 65536     		y = 0.334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518798828125 × 2 - 1) × π
    0.03759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11811652
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334228515625 × 2 - 1) × π
    0.33154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04157295494458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11811652} λ = 0.11811652}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04157295494458))-π/2
    2×atan(2.83367074708576)-π/2
    2×1.23154108344519-π/2
    2.46308216689038-1.57079632675     		φ = 0.89228584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11811652} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89228584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.124213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34000 KachelY 21904 0.11811652 0.89228584 6.767578 51.124213
    Oben rechts KachelX + 1 34001 KachelY 21904 0.11821239 0.89228584 6.773071 51.124213
    Unten links KachelX 34000 KachelY + 1 21905 0.11811652 0.89222566 6.767578 51.120765
    Unten rechts KachelX + 1 34001 KachelY + 1 21905 0.11821239 0.89222566 6.773071 51.120765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89228584-0.89222566) × R
    6.01799999999653e-05 × 6371000     		dl = 383.406779999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89228584-0.89222566) × R
    6.01799999999653e-05 × 6371000     		dr = 383.406779999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11811652-0.11821239) × cos(0.89228584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627634122078673 × 6371000     		do = 383.351245800332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11811652-0.11821239) × cos(0.89222566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627680971580716 × 6371000     		du = 383.379860903211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89228584)-sin(0.89222566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627634122078673-0.627680971580716)×R²
    abs(0.11821239-0.11811652)×4.68495020431448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68495020431448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68495020431448e-05×40589641000000     		ar = 146984.952417559m²