Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34011 / 21884
↖ ↑ ↗
← N 51.193116°
E  6.828003°		 ← 382.82 m → N 51.193116°
E  6.833496°		 →
↑
382.83 m
↓
↑
382.83 m
↓
N 51.189673°
E  6.828003°		 ← 382.85 m →
146 561 m²		 N 51.189673°
E  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518974304199219 y=0.333930969238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518974304199219 × 216)
    floor (0.518974304199219 × 65536)
    floor (34011.5)     		tx = 34011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333930969238281 × 216)
    floor (0.333930969238281 × 65536)
    floor (21884.5)     		ty = 21884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34011 / 21884 ti = "16/34011/21884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34011/21884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34011 ÷ 216
    34011 ÷ 65536     		x = 0.518966674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21884 ÷ 216
    21884 ÷ 65536     		y = 0.33392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518966674804688 × 2 - 1) × π
    0.037933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11917113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33392333984375 × 2 - 1) × π
    0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11917113} λ = 0.11917113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04349043092938))-π/2
    2×atan(2.83910945532196)-π/2
    2×1.23214237107409-π/2
    2.46428474214818-1.57079632675     		φ = 0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11917113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.828003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34011 KachelY 21884 0.11917113 0.89348842 6.828003 51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 34012 KachelY 21884 0.11926701 0.89348842 6.833496 51.193116
    Unten links KachelX 34011 KachelY + 1 21885 0.11917113 0.89342833 6.828003 51.189673
    Unten rechts KachelX + 1 34012 KachelY + 1 21885 0.11926701 0.89342833 6.833496 51.189673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89348842-0.89342833) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dl = 382.833389999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89348842-0.89342833) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dr = 382.833389999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11917113-0.11926701) × cos(0.89348842) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 382.819064703747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11917113-0.11926701) × cos(0.89342833) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.626744274531444 × 6371000     		du = 382.847667679085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89348842)-sin(0.89342833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626744274531444)×R²
    abs(0.11926701-0.11917113)×4.68247622773532e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.68247622773532e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.68247622773532e-05×40589641000000     		ar = 146561.395428296m²