Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34013 / 21903
↖ ↑ ↗
← N 51.127660°
E  6.838989°		 ← 383.32 m → N 51.127660°
E  6.844482°		 →
↑
383.34 m
↓
↑
383.34 m
↓
N 51.124213°
E  6.838989°		 ← 383.35 m →
146 950 m²		 N 51.124213°
E  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519004821777344 y=0.334220886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519004821777344 × 216)
    floor (0.519004821777344 × 65536)
    floor (34013.5)     		tx = 34013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334220886230469 × 216)
    floor (0.334220886230469 × 65536)
    floor (21903.5)     		ty = 21903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34013 / 21903 ti = "16/34013/21903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34013/21903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34013 ÷ 216
    34013 ÷ 65536     		x = 0.518997192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21903 ÷ 216
    21903 ÷ 65536     		y = 0.334213256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518997192382812 × 2 - 1) × π
    0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334213256835938 × 2 - 1) × π
    0.331573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04166882874382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11936288} λ = 0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04166882874382))-π/2
    2×atan(2.83394243488974)-π/2
    2×1.23157116915629-π/2
    2.46314233831257-1.57079632675     		φ = 0.89234601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89234601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.127660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34013 KachelY 21903 0.11936288 0.89234601 6.838989 51.127660
    Oben rechts KachelX + 1 34014 KachelY 21903 0.11945875 0.89234601 6.844482 51.127660
    Unten links KachelX 34013 KachelY + 1 21904 0.11936288 0.89228584 6.838989 51.124213
    Unten rechts KachelX + 1 34014 KachelY + 1 21904 0.11945875 0.89228584 6.844482 51.124213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89234601-0.89228584) × R
    6.0170000000026e-05 × 6371000     		dl = 383.343070000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89234601-0.89228584) × R
    6.0170000000026e-05 × 6371000     		dr = 383.343070000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11936288-0.11945875) × cos(0.89234601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627587278089032 × 6371000     		do = 383.322634064361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11936288-0.11945875) × cos(0.89228584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627634122078673 × 6371000     		du = 383.351245800332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89234601)-sin(0.89228584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627587278089032-0.627634122078673)×R²
    abs(0.11945875-0.11936288)×4.68439896410544e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68439896410544e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68439896410544e-05×40589641000000     		ar = 146949.559442624m²