Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34014 / 21897
↖ ↑ ↗
← N 51.148341°
E  6.844482°		 ← 383.19 m → N 51.148341°
E  6.849976°		 →
↑
383.22 m
↓
↑
383.22 m
↓
N 51.144894°
E  6.844482°		 ← 383.22 m →
146 850 m²		 N 51.144894°
E  6.849976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519020080566406 y=0.334129333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519020080566406 × 216)
    floor (0.519020080566406 × 65536)
    floor (34014.5)     		tx = 34014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334129333496094 × 216)
    floor (0.334129333496094 × 65536)
    floor (21897.5)     		ty = 21897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34014 / 21897 ti = "16/34014/21897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34014/21897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34014 ÷ 216
    34014 ÷ 65536     		x = 0.519012451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21897 ÷ 216
    21897 ÷ 65536     		y = 0.334121704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519012451171875 × 2 - 1) × π
    0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334121704101562 × 2 - 1) × π
    0.331756591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04224407153926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11945875} λ = 0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04224407153926))-π/2
    2×atan(2.83557310882985)-π/2
    2×1.23175163626775-π/2
    2.4635032725355-1.57079632675     		φ = 0.89270695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89270695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.148341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34014 KachelY 21897 0.11945875 0.89270695 6.844482 51.148341
    Oben rechts KachelX + 1 34015 KachelY 21897 0.11955463 0.89270695 6.849976 51.148341
    Unten links KachelX 34014 KachelY + 1 21898 0.11945875 0.89264680 6.844482 51.144894
    Unten rechts KachelX + 1 34015 KachelY + 1 21898 0.11955463 0.89264680 6.849976 51.144894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89270695-0.89264680) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dl = 383.215650000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89270695-0.89264680) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dr = 383.215650000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11945875-0.11955463) × cos(0.89270695) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.627306228744102 × 6371000     		do = 383.190938241524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11945875-0.11955463) × cos(0.89264680) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.627353070786291 × 6371000     		du = 383.219551772321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89270695)-sin(0.89264680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627306228744102-0.627353070786291)×R²
    abs(0.11955463-0.11945875)×4.68420421888549e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68420421888549e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68420421888549e-05×40589641000000     		ar = 146850.247092982m²