Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34020 / 21900
↖ ↑ ↗
← N 51.138002°
E  6.877442°		 ← 383.24 m → N 51.138002°
E  6.882935°		 →
↑
383.28 m
↓
↑
383.28 m
↓
N 51.134555°
E  6.877442°		 ← 383.27 m →
146 892 m²		 N 51.134555°
E  6.882935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519111633300781 y=0.334175109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519111633300781 × 216)
    floor (0.519111633300781 × 65536)
    floor (34020.5)     		tx = 34020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334175109863281 × 216)
    floor (0.334175109863281 × 65536)
    floor (21900.5)     		ty = 21900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34020 / 21900 ti = "16/34020/21900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34020/21900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34020 ÷ 216
    34020 ÷ 65536     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21900 ÷ 216
    21900 ÷ 65536     		y = 0.33416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33416748046875 × 2 - 1) × π
    0.3316650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04195645014154
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04195645014154))-π/2
    2×atan(2.83475765460562)-π/2
    2×1.23166141281633-π/2
    2.46332282563266-1.57079632675     		φ = 0.89252650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89252650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.138002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34020 KachelY 21900 0.12003400 0.89252650 6.877442 51.138002
    Oben rechts KachelX + 1 34021 KachelY 21900 0.12012987 0.89252650 6.882935 51.138002
    Unten links KachelX 34020 KachelY + 1 21901 0.12003400 0.89246634 6.877442 51.134555
    Unten rechts KachelX + 1 34021 KachelY + 1 21901 0.12012987 0.89246634 6.882935 51.134555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89252650-0.89246634) × R
    6.01599999999758e-05 × 6371000     		dl = 383.279359999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89252650-0.89246634) × R
    6.01599999999758e-05 × 6371000     		dr = 383.279359999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12012987) × cos(0.89252650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627446748061166 × 6371000     		do = 383.236800042023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12012987) × cos(0.89246634) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627493591079731 × 6371000     		du = 383.265411184873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89252650)-sin(0.89246634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627446748061166-0.627493591079731)×R²
    abs(0.12012987-0.12003400)×4.6843018565168e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6843018565168e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6843018565168e-05×40589641000000     		ar = 146892.238523043m²