Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34021 / 21899
↖ ↑ ↗
← N 51.141448°
E  6.882935°		 ← 383.21 m → N 51.141448°
E  6.888427°		 →
↑
383.22 m
↓
↑
383.22 m
↓
N 51.138002°
E  6.882935°		 ← 383.24 m →
146 857 m²		 N 51.138002°
E  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519126892089844 y=0.334159851074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519126892089844 × 216)
    floor (0.519126892089844 × 65536)
    floor (34021.5)     		tx = 34021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334159851074219 × 216)
    floor (0.334159851074219 × 65536)
    floor (21899.5)     		ty = 21899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34021 / 21899 ti = "16/34021/21899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34021/21899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34021 ÷ 216
    34021 ÷ 65536     		x = 0.519119262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21899 ÷ 216
    21899 ÷ 65536     		y = 0.334152221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519119262695312 × 2 - 1) × π
    0.038238525390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12012987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334152221679688 × 2 - 1) × π
    0.331695556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04205232394078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12012987} λ = 0.12012987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04205232394078))-π/2
    2×atan(2.83502944662055)-π/2
    2×1.23169148954546-π/2
    2.46338297909092-1.57079632675     		φ = 0.89258665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12012987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.882935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89258665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.141448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34021 KachelY 21899 0.12012987 0.89258665 6.882935 51.141448
    Oben rechts KachelX + 1 34022 KachelY 21899 0.12022574 0.89258665 6.888427 51.141448
    Unten links KachelX 34021 KachelY + 1 21900 0.12012987 0.89252650 6.882935 51.138002
    Unten rechts KachelX + 1 34022 KachelY + 1 21900 0.12022574 0.89252650 6.888427 51.138002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89258665-0.89252650) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dl = 383.215650000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89258665-0.89252650) × R
    6.01500000000366e-05 × 6371000     		dr = 383.215650000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12012987-0.12022574) × cos(0.89258665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627399910558702 × 6371000     		do = 383.208192268341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12012987-0.12022574) × cos(0.89252650) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627446748061166 × 6371000     		du = 383.236800042023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89258665)-sin(0.89252650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627399910558702-0.627446748061166)×R²
    abs(0.12022574-0.12012987)×4.68375024643697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68375024643697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68375024643697e-05×40589641000000     		ar = 146856.858002936m²