Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34026 / 21902
↖ ↑ ↗
← N 51.131108°
E  6.910400°		 ← 383.29 m → N 51.131108°
E  6.915893°		 →
↑
383.34 m
↓
↑
383.34 m
↓
N 51.127660°
E  6.910400°		 ← 383.32 m →
146 939 m²		 N 51.127660°
E  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519203186035156 y=0.334205627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519203186035156 × 216)
    floor (0.519203186035156 × 65536)
    floor (34026.5)     		tx = 34026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334205627441406 × 216)
    floor (0.334205627441406 × 65536)
    floor (21902.5)     		ty = 21902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34026 / 21902 ti = "16/34026/21902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34026/21902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34026 ÷ 216
    34026 ÷ 65536     		x = 0.519195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21902 ÷ 216
    21902 ÷ 65536     		y = 0.334197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519195556640625 × 2 - 1) × π
    0.03839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12060924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334197998046875 × 2 - 1) × π
    0.33160400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04176470254306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12060924} λ = 0.12060924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04176470254306))-π/2
    2×atan(2.83421414874271)-π/2
    2×1.2316012526218-π/2
    2.4632025052436-1.57079632675     		φ = 0.89240618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12060924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89240618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.131108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34026 KachelY 21902 0.12060924 0.89240618 6.910400 51.131108
    Oben rechts KachelX + 1 34027 KachelY 21902 0.12070511 0.89240618 6.915893 51.131108
    Unten links KachelX 34026 KachelY + 1 21903 0.12060924 0.89234601 6.910400 51.127660
    Unten rechts KachelX + 1 34027 KachelY + 1 21903 0.12070511 0.89234601 6.915893 51.127660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89240618-0.89234601) × R
    6.0170000000026e-05 × 6371000     		dl = 383.343070000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89240618-0.89234601) × R
    6.0170000000026e-05 × 6371000     		dr = 383.343070000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12060924-0.12070511) × cos(0.89240618) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627540431827256 × 6371000     		do = 383.294020940598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12060924-0.12070511) × cos(0.89234601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.627587278089032 × 6371000     		du = 383.322634064361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89240618)-sin(0.89234601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627540431827256-0.627587278089032)×R²
    abs(0.12070511-0.12060924)×4.68462617760901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68462617760901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68462617760901e-05×40589641000000     		ar = 146938.591065597m²