Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34027 / 21886
↖ ↑ ↗
← N 51.186230°
E  6.915893°		 ← 382.88 m → N 51.186230°
E  6.921387°		 →
↑
382.90 m
↓
↑
382.90 m
↓
N 51.182786°
E  6.915893°		 ← 382.90 m →
146 608 m²		 N 51.182786°
E  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519218444824219 y=0.333961486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519218444824219 × 216)
    floor (0.519218444824219 × 65536)
    floor (34027.5)     		tx = 34027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333961486816406 × 216)
    floor (0.333961486816406 × 65536)
    floor (21886.5)     		ty = 21886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34027 / 21886 ti = "16/34027/21886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34027/21886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34027 ÷ 216
    34027 ÷ 65536     		x = 0.519210815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21886 ÷ 216
    21886 ÷ 65536     		y = 0.333953857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519210815429688 × 2 - 1) × π
    0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333953857421875 × 2 - 1) × π
    0.33209228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0432986833309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12070511} λ = 0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0432986833309))-π/2
    2×atan(2.83856511509172)-π/2
    2×1.23208228271926-π/2
    2.46416456543852-1.57079632675     		φ = 0.89336824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89336824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.186230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34027 KachelY 21886 0.12070511 0.89336824 6.915893 51.186230
    Oben rechts KachelX + 1 34028 KachelY 21886 0.12080099 0.89336824 6.921387 51.186230
    Unten links KachelX 34027 KachelY + 1 21887 0.12070511 0.89330814 6.915893 51.182786
    Unten rechts KachelX + 1 34028 KachelY + 1 21887 0.12080099 0.89330814 6.921387 51.182786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89336824-0.89330814) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dl = 382.897100000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89336824-0.89330814) × R
    6.01000000000074e-05 × 6371000     		dr = 382.897100000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12070511-0.12080099) × cos(0.89336824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		do = 382.876269271978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12070511-0.12080099) × cos(0.89330814) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626837925058167 × 6371000     		du = 382.904874241881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89336824)-sin(0.89330814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626791097030668-0.626837925058167)×R²
    abs(0.12080099-0.12070511)×4.68280274984467e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68280274984467e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68280274984467e-05×40589641000000     		ar = 146607.689587106m²