Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34032 / 21872
↖ ↑ ↗
← N 51.234407°
E  6.943359°		 ← 382.48 m → N 51.234407°
E  6.948853°		 →
↑
382.45 m
↓
↑
382.45 m
↓
N 51.230968°
E  6.943359°		 ← 382.50 m →
146 284 m²		 N 51.230968°
E  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519294738769531 y=0.333747863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519294738769531 × 216)
    floor (0.519294738769531 × 65536)
    floor (34032.5)     		tx = 34032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333747863769531 × 216)
    floor (0.333747863769531 × 65536)
    floor (21872.5)     		ty = 21872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34032 / 21872 ti = "16/34032/21872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34032/21872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34032 ÷ 216
    34032 ÷ 65536     		x = 0.519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21872 ÷ 216
    21872 ÷ 65536     		y = 0.333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519287109375 × 2 - 1) × π
    0.03857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12118448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333740234375 × 2 - 1) × π
    0.33251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04464091652026
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12118448} λ = 0.12118448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04464091652026))-π/2
    2×atan(2.84237768950893)-π/2
    2×1.23250271268511-π/2
    2.46500542537021-1.57079632675     		φ = 0.89420910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12118448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89420910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.234407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34032 KachelY 21872 0.12118448 0.89420910 6.943359 51.234407
    Oben rechts KachelX + 1 34033 KachelY 21872 0.12128036 0.89420910 6.948853 51.234407
    Unten links KachelX 34032 KachelY + 1 21873 0.12118448 0.89414907 6.943359 51.230968
    Unten rechts KachelX + 1 34033 KachelY + 1 21873 0.12128036 0.89414907 6.948853 51.230968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89420910-0.89414907) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dl = 382.451129999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89420910-0.89414907) × R
    6.00299999999887e-05 × 6371000     		dr = 382.451129999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(0.89420910) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.626135688050928 × 6371000     		do = 382.475911726754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12118448-0.12128036) × cos(0.89414907) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.626182493161014 × 6371000     		du = 382.504502697522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89420910)-sin(0.89414907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626135688050928-0.626182493161014)×R²
    abs(0.12128036-0.12118448)×4.68051100860345e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.68051100860345e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.68051100860345e-05×40589641000000     		ar = 146283.812006222m²