Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34044 / 21764
↖ ↑ ↗
← N 51.604371°
E  7.009277°		 ← 379.35 m → N 51.604371°
E  7.014770°		 →
↑
379.33 m
↓
↑
379.33 m
↓
N 51.600960°
E  7.009277°		 ← 379.38 m →
143 905 m²		 N 51.600960°
E  7.014770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519477844238281 y=0.332099914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519477844238281 × 216)
    floor (0.519477844238281 × 65536)
    floor (34044.5)     		tx = 34044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332099914550781 × 216)
    floor (0.332099914550781 × 65536)
    floor (21764.5)     		ty = 21764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34044 / 21764 ti = "16/34044/21764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34044/21764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34044 ÷ 216
    34044 ÷ 65536     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21764 ÷ 216
    21764 ÷ 65536     		y = 0.33209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33209228515625 × 2 - 1) × π
    0.3358154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0549952868382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0549952868382))-π/2
    2×atan(2.87196161784965)-π/2
    2×1.23573126021796-π/2
    2.47146252043593-1.57079632675     		φ = 0.90066619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90066619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.604371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34044 KachelY 21764 0.12233497 0.90066619 7.009277 51.604371
    Oben rechts KachelX + 1 34045 KachelY 21764 0.12243084 0.90066619 7.014770 51.604371
    Unten links KachelX 34044 KachelY + 1 21765 0.12233497 0.90060665 7.009277 51.600960
    Unten rechts KachelX + 1 34045 KachelY + 1 21765 0.12243084 0.90060665 7.014770 51.600960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90066619-0.90060665) × R
    5.95400000000801e-05 × 6371000     		dl = 379.32934000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90066619-0.90060665) × R
    5.95400000000801e-05 × 6371000     		dr = 379.32934000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12243084) × cos(0.90066619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621087985817259 × 6371000     		do = 379.352945831107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12243084) × cos(0.90060665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621134648646328 × 6371000     		du = 379.381446916416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90066619)-sin(0.90060665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621087985817259-0.621134648646328)×R²
    abs(0.12243084-0.12233497)×4.66628290682891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66628290682891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66628290682891e-05×40589641000000     		ar = 143905.108260538m²