Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34049 / 21761
↖ ↑ ↗
← N 51.614606°
E  7.036743°		 ← 379.27 m → N 51.614606°
E  7.042236°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
N 51.611195°
E  7.036743°		 ← 379.30 m →
143 849 m²		 N 51.611195°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519554138183594 y=0.332054138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519554138183594 × 216)
    floor (0.519554138183594 × 65536)
    floor (34049.5)     		tx = 34049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332054138183594 × 216)
    floor (0.332054138183594 × 65536)
    floor (21761.5)     		ty = 21761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34049 / 21761 ti = "16/34049/21761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34049/21761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34049 ÷ 216
    34049 ÷ 65536     		x = 0.519546508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21761 ÷ 216
    21761 ÷ 65536     		y = 0.332046508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519546508789062 × 2 - 1) × π
    0.039093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12281434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332046508789062 × 2 - 1) × π
    0.335906982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05528290823592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12281434} λ = 0.12281434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05528290823592))-π/2
    2×atan(2.87278777426881)-π/2
    2×1.23582056924795-π/2
    2.47164113849589-1.57079632675     		φ = 0.90084481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12281434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.036743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90084481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.614606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34049 KachelY 21761 0.12281434 0.90084481 7.036743 51.614606
    Oben rechts KachelX + 1 34050 KachelY 21761 0.12291021 0.90084481 7.042236 51.614606
    Unten links KachelX 34049 KachelY + 1 21762 0.12281434 0.90078528 7.036743 51.611195
    Unten rechts KachelX + 1 34050 KachelY + 1 21762 0.12291021 0.90078528 7.042236 51.611195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90084481-0.90078528) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dl = 379.26563000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90084481-0.90078528) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dr = 379.26563000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12281434-0.12291021) × cos(0.90084481) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.620947984120132 × 6371000     		do = 379.267434506777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12281434-0.12291021) × cos(0.90078528) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.620994645715848 × 6371000     		du = 379.295934838769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90084481)-sin(0.90078528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620947984120132-0.620994645715848)×R²
    abs(0.12291021-0.12281434)×4.6661595716313e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.6661595716313e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.6661595716313e-05×40589641000000     		ar = 143848.507127579m²