Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34049 / 21763
↖ ↑ ↗
← N 51.607783°
E  7.036743°		 ← 379.32 m → N 51.607783°
E  7.042236°		 →
↑
379.39 m
↓
↑
379.39 m
↓
N 51.604371°
E  7.036743°		 ← 379.35 m →
143 918 m²		 N 51.604371°
E  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519554138183594 y=0.332084655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519554138183594 × 216)
    floor (0.519554138183594 × 65536)
    floor (34049.5)     		tx = 34049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332084655761719 × 216)
    floor (0.332084655761719 × 65536)
    floor (21763.5)     		ty = 21763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34049 / 21763 ti = "16/34049/21763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34049/21763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34049 ÷ 216
    34049 ÷ 65536     		x = 0.519546508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21763 ÷ 216
    21763 ÷ 65536     		y = 0.332077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519546508789062 × 2 - 1) × π
    0.039093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12281434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332077026367188 × 2 - 1) × π
    0.335845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05509116063744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12281434} λ = 0.12281434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05509116063744))-π/2
    2×atan(2.87223697692087)-π/2
    2×1.23576103213169-π/2
    2.47152206426339-1.57079632675     		φ = 0.90072574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12281434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.036743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90072574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.607783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34049 KachelY 21763 0.12281434 0.90072574 7.036743 51.607783
    Oben rechts KachelX + 1 34050 KachelY 21763 0.12291021 0.90072574 7.042236 51.607783
    Unten links KachelX 34049 KachelY + 1 21764 0.12281434 0.90066619 7.036743 51.604371
    Unten rechts KachelX + 1 34050 KachelY + 1 21764 0.12291021 0.90066619 7.042236 51.604371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90072574-0.90066619) × R
    5.95500000000193e-05 × 6371000     		dl = 379.393050000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90072574-0.90066619) × R
    5.95500000000193e-05 × 6371000     		dr = 379.393050000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12281434-0.12291021) × cos(0.90072574) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.621041312948649 × 6371000     		do = 379.324438613824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12281434-0.12291021) × cos(0.90066619) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.621087985817259 × 6371000     		du = 379.352945831162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90072574)-sin(0.90066619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621041312948649-0.621087985817259)×R²
    abs(0.12291021-0.12281434)×4.66728686107087e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.66728686107087e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.66728686107087e-05×40589641000000     		ar = 143918.463468114m²