Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34056 / 21768
↖ ↑ ↗
← N 51.590722°
E  7.075195°		 ← 379.51 m → N 51.590722°
E  7.080689°		 →
↑
379.46 m
↓
↑
379.46 m
↓
N 51.587310°
E  7.075195°		 ← 379.54 m →
144 012 m²		 N 51.587310°
E  7.080689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519660949707031 y=0.332160949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519660949707031 × 216)
    floor (0.519660949707031 × 65536)
    floor (34056.5)     		tx = 34056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332160949707031 × 216)
    floor (0.332160949707031 × 65536)
    floor (21768.5)     		ty = 21768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34056 / 21768 ti = "16/34056/21768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34056/21768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34056 ÷ 216
    34056 ÷ 65536     		x = 0.5196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21768 ÷ 216
    21768 ÷ 65536     		y = 0.3321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5196533203125 × 2 - 1) × π
    0.039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12348545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3321533203125 × 2 - 1) × π
    0.335693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05461179164124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12348545} λ = 0.12348545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05461179164124))-π/2
    2×atan(2.87086044552399)-π/2
    2×1.2356121501909-π/2
    2.47122430038181-1.57079632675     		φ = 0.90042797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12348545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90042797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.590722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34056 KachelY 21768 0.12348545 0.90042797 7.075195 51.590722
    Oben rechts KachelX + 1 34057 KachelY 21768 0.12358133 0.90042797 7.080689 51.590722
    Unten links KachelX 34056 KachelY + 1 21769 0.12348545 0.90036841 7.075195 51.587310
    Unten rechts KachelX + 1 34057 KachelY + 1 21769 0.12358133 0.90036841 7.080689 51.587310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90042797-0.90036841) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dl = 379.456759999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90042797-0.90036841) × R
    5.95599999999585e-05 × 6371000     		dr = 379.456759999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12348545-0.12358133) × cos(0.90042797) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.621274670936867 × 6371000     		do = 379.506552228324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12348545-0.12358133) × cos(0.90036841) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		du = 379.535060477077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90042797)-sin(0.90036841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621274670936867-0.621321340626122)×R²
    abs(0.12358133-0.12348545)×4.66696892554852e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.66696892554852e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.66696892554852e-05×40589641000000     		ar = 144011.735573706m²