Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34063 / 21777
↖ ↑ ↗
← N 51.559998°
E  7.113647°		 ← 379.72 m → N 51.559998°
E  7.119140°		 →
↑
379.78 m
↓
↑
379.78 m
↓
N 51.556582°
E  7.113647°		 ← 379.75 m →
144 215 m²		 N 51.556582°
E  7.119140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519767761230469 y=0.332298278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519767761230469 × 216)
    floor (0.519767761230469 × 65536)
    floor (34063.5)     		tx = 34063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332298278808594 × 216)
    floor (0.332298278808594 × 65536)
    floor (21777.5)     		ty = 21777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34063 / 21777 ti = "16/34063/21777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34063/21777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34063 ÷ 216
    34063 ÷ 65536     		x = 0.519760131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21777 ÷ 216
    21777 ÷ 65536     		y = 0.332290649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519760131835938 × 2 - 1) × π
    0.039520263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12415657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332290649414062 × 2 - 1) × π
    0.335418701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05374892744807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12415657} λ = 0.12415657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05374892744807))-π/2
    2×atan(2.86838435126215)-π/2
    2×1.23534402173593-π/2
    2.47068804347186-1.57079632675     		φ = 0.89989172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12415657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.113647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89989172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.559998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34063 KachelY 21777 0.12415657 0.89989172 7.113647 51.559998
    Oben rechts KachelX + 1 34064 KachelY 21777 0.12425244 0.89989172 7.119140 51.559998
    Unten links KachelX 34063 KachelY + 1 21778 0.12415657 0.89983211 7.113647 51.556582
    Unten rechts KachelX + 1 34064 KachelY + 1 21778 0.12425244 0.89983211 7.119140 51.556582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89989172-0.89983211) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dl = 379.775309999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89989172-0.89983211) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dr = 379.775309999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12415657-0.12425244) × cos(0.89989172) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.621694783264222 × 6371000     		do = 379.723570290634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12415657-0.12425244) × cos(0.89983211) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.621741472264228 × 6371000     		du = 379.752087360831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89989172)-sin(0.89983211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621694783264222-0.621741472264228)×R²
    abs(0.12425244-0.12415657)×4.66890000057063e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.66890000057063e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.66890000057063e-05×40589641000000     		ar = 144215.05170372m²