Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34066 / 21778
↖ ↑ ↗
← N 51.556582°
E  7.130127°		 ← 379.79 m → N 51.556582°
E  7.135620°		 →
↑
379.78 m
↓
↑
379.78 m
↓
N 51.553167°
E  7.130127°		 ← 379.82 m →
144 241 m²		 N 51.553167°
E  7.135620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519813537597656 y=0.332313537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519813537597656 × 216)
    floor (0.519813537597656 × 65536)
    floor (34066.5)     		tx = 34066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332313537597656 × 216)
    floor (0.332313537597656 × 65536)
    floor (21778.5)     		ty = 21778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34066 / 21778 ti = "16/34066/21778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34066/21778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34066 ÷ 216
    34066 ÷ 65536     		x = 0.519805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21778 ÷ 216
    21778 ÷ 65536     		y = 0.332305908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519805908203125 × 2 - 1) × π
    0.03961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12444419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332305908203125 × 2 - 1) × π
    0.33538818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05365305364883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12444419} λ = 0.12444419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05365305364883))-π/2
    2×atan(2.86810936153908)-π/2
    2×1.23531421849639-π/2
    2.47062843699278-1.57079632675     		φ = 0.89983211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12444419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.130127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89983211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.556582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34066 KachelY 21778 0.12444419 0.89983211 7.130127 51.556582
    Oben rechts KachelX + 1 34067 KachelY 21778 0.12454007 0.89983211 7.135620 51.556582
    Unten links KachelX 34066 KachelY + 1 21779 0.12444419 0.89977250 7.130127 51.553167
    Unten rechts KachelX + 1 34067 KachelY + 1 21779 0.12454007 0.89977250 7.135620 51.553167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89983211-0.89977250) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dl = 379.775309999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89983211-0.89977250) × R
    5.96099999999877e-05 × 6371000     		dr = 379.775309999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(0.89983211) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.621741472264228 × 6371000     		do = 379.791698510008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12444419-0.12454007) × cos(0.89977250) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.621788159054967 × 6371000     		du = 379.820217205228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89983211)-sin(0.89977250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621741472264228-0.621788159054967)×R²
    abs(0.12454007-0.12444419)×4.66867907393809e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.66867907393809e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.66867907393809e-05×40589641000000     		ar = 144240.925427935m²