Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34080 / 21792
↖ ↑ ↗
← N 51.508742°
E  7.207031°		 ← 380.19 m → N 51.508742°
E  7.212525°		 →
↑
380.16 m
↓
↑
380.16 m
↓
N 51.505324°
E  7.207031°		 ← 380.22 m →
144 538 m²		 N 51.505324°
E  7.212525°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520027160644531 y=0.332527160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520027160644531 × 216)
    floor (0.520027160644531 × 65536)
    floor (34080.5)     		tx = 34080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332527160644531 × 216)
    floor (0.332527160644531 × 65536)
    floor (21792.5)     		ty = 21792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34080 / 21792 ti = "16/34080/21792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34080/21792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34080 ÷ 216
    34080 ÷ 65536     		x = 0.52001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21792 ÷ 216
    21792 ÷ 65536     		y = 0.33251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52001953125 × 2 - 1) × π
    0.0400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12578642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33251953125 × 2 - 1) × π
    0.3349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05231082045947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12578642} λ = 0.12578642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05231082045947))-π/2
    2×atan(2.86426227238625)-π/2
    2×1.23489673812205-π/2
    2.46979347624409-1.57079632675     		φ = 0.89899715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12578642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89899715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.508742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34080 KachelY 21792 0.12578642 0.89899715 7.207031 51.508742
    Oben rechts KachelX + 1 34081 KachelY 21792 0.12588230 0.89899715 7.212525 51.508742
    Unten links KachelX 34080 KachelY + 1 21793 0.12578642 0.89893748 7.207031 51.505324
    Unten rechts KachelX + 1 34081 KachelY + 1 21793 0.12588230 0.89893748 7.212525 51.505324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89899715-0.89893748) × R
    5.96700000000672e-05 × 6371000     		dl = 380.157570000428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89899715-0.89893748) × R
    5.96700000000672e-05 × 6371000     		dr = 380.157570000428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12578642-0.12588230) × cos(0.89899715) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62239521495124 × 6371000     		do = 380.191038197854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12578642-0.12588230) × cos(0.89893748) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.622441917739212 × 6371000     		du = 380.219566665007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89899715)-sin(0.89893748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62239521495124-0.622441917739212)×R²
    abs(0.12588230-0.12578642)×4.67027879726967e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67027879726967e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67027879726967e-05×40589641000000     		ar = 144537.923916734m²