Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34113 / 22079
↖ ↑ ↗
← N 50.516919°
E  7.388306°		 ← 388.37 m → N 50.516919°
E  7.393799°		 →
↑
388.38 m
↓
↑
388.38 m
↓
N 50.513427°
E  7.388306°		 ← 388.40 m →
150 839 m²		 N 50.513427°
E  7.393799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520530700683594 y=0.336906433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520530700683594 × 216)
    floor (0.520530700683594 × 65536)
    floor (34113.5)     		tx = 34113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336906433105469 × 216)
    floor (0.336906433105469 × 65536)
    floor (22079.5)     		ty = 22079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34113 / 22079 ti = "16/34113/22079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34113/22079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34113 ÷ 216
    34113 ÷ 65536     		x = 0.520523071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22079 ÷ 216
    22079 ÷ 65536     		y = 0.336898803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520523071289062 × 2 - 1) × π
    0.041046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12895026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336898803710938 × 2 - 1) × π
    0.326202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02479504007756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12895026} λ = 0.12895026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02479504007756))-π/2
    2×atan(2.78652427623337)-π/2
    2×1.22624144988382-π/2
    2.45248289976763-1.57079632675     		φ = 0.88168657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12895026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.388306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88168657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.516919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34113 KachelY 22079 0.12895026 0.88168657 7.388306 50.516919
    Oben rechts KachelX + 1 34114 KachelY 22079 0.12904613 0.88168657 7.393799 50.516919
    Unten links KachelX 34113 KachelY + 1 22080 0.12895026 0.88162561 7.388306 50.513427
    Unten rechts KachelX + 1 34114 KachelY + 1 22080 0.12904613 0.88162561 7.393799 50.513427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88168657-0.88162561) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dl = 388.376159999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88168657-0.88162561) × R
    6.09599999999988e-05 × 6371000     		dr = 388.376159999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12895026-0.12904613) × cos(0.88168657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635850333550012 × 6371000     		do = 388.36960728276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12895026-0.12904613) × cos(0.88162561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635897382051354 × 6371000     		du = 388.398343931976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88168657)-sin(0.88162561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635850333550012-0.635897382051354)×R²
    abs(0.12904613-0.12895026)×4.70485013415178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70485013415178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70485013415178e-05×40589641000000     		ar = 150839.077098554m²