Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34120 / 22088
↖ ↑ ↗
← N 50.485474°
E  7.426758°		 ← 388.63 m → N 50.485474°
E  7.432251°		 →
↑
388.69 m
↓
↑
388.69 m
↓
N 50.481978°
E  7.426758°		 ← 388.66 m →
151 063 m²		 N 50.481978°
E  7.432251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520637512207031 y=0.337043762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520637512207031 × 216)
    floor (0.520637512207031 × 65536)
    floor (34120.5)     		tx = 34120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337043762207031 × 216)
    floor (0.337043762207031 × 65536)
    floor (22088.5)     		ty = 22088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34120 / 22088 ti = "16/34120/22088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34120/22088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34120 ÷ 216
    34120 ÷ 65536     		x = 0.5206298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22088 ÷ 216
    22088 ÷ 65536     		y = 0.3370361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5206298828125 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12962138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3370361328125 × 2 - 1) × π
    0.325927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0239321758844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12962138} λ = 0.12962138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0239321758844))-π/2
    2×atan(2.78412092124563)-π/2
    2×1.22596703228936-π/2
    2.45193406457872-1.57079632675     		φ = 0.88113774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12962138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.426758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88113774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.485474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34120 KachelY 22088 0.12962138 0.88113774 7.426758 50.485474
    Oben rechts KachelX + 1 34121 KachelY 22088 0.12971725 0.88113774 7.432251 50.485474
    Unten links KachelX 34120 KachelY + 1 22089 0.12962138 0.88107673 7.426758 50.481978
    Unten rechts KachelX + 1 34121 KachelY + 1 22089 0.12971725 0.88107673 7.432251 50.481978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88113774-0.88107673) × R
    6.1010000000028e-05 × 6371000     		dl = 388.694710000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88113774-0.88107673) × R
    6.1010000000028e-05 × 6371000     		dr = 388.694710000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12962138-0.12971725) × cos(0.88113774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636273831554846 × 6371000     		do = 388.628274684732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12962138-0.12971725) × cos(0.88107673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636320897346101 × 6371000     		du = 388.657021894415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88113774)-sin(0.88107673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636273831554846-0.636320897346101)×R²
    abs(0.12971725-0.12962138)×4.70657912549077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70657912549077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70657912549077e-05×40589641000000     		ar = 151063.341517354m²