Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34177 / 22143
↖ ↑ ↗
← N 50.292849°
E  7.739868°		 ← 390.25 m → N 50.292849°
E  7.745362°		 →
↑
390.22 m
↓
↑
390.22 m
↓
N 50.289339°
E  7.739868°		 ← 390.28 m →
152 291 m²		 N 50.289339°
E  7.745362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521507263183594 y=0.337882995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521507263183594 × 216)
    floor (0.521507263183594 × 65536)
    floor (34177.5)     		tx = 34177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337882995605469 × 216)
    floor (0.337882995605469 × 65536)
    floor (22143.5)     		ty = 22143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34177 / 22143 ti = "16/34177/22143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34177/22143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34177 ÷ 216
    34177 ÷ 65536     		x = 0.521499633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22143 ÷ 216
    22143 ÷ 65536     		y = 0.337875366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.521499633789062 × 2 - 1) × π
    0.042999267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13508618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337875366210938 × 2 - 1) × π
    0.324249267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01865911692619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13508618} λ = 0.13508618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01865911692619))-π/2
    2×atan(2.76947872598792)-π/2
    2×1.22428606398069-π/2
    2.44857212796137-1.57079632675     		φ = 0.87777580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13508618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.739868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87777580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.292849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34177 KachelY 22143 0.13508618 0.87777580 7.739868 50.292849
    Oben rechts KachelX + 1 34178 KachelY 22143 0.13518206 0.87777580 7.745362 50.292849
    Unten links KachelX 34177 KachelY + 1 22144 0.13508618 0.87771455 7.739868 50.289339
    Unten rechts KachelX + 1 34178 KachelY + 1 22144 0.13518206 0.87771455 7.745362 50.289339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87777580-0.87771455) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dl = 390.223750000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87777580-0.87771455) × R
    6.12500000000127e-05 × 6371000     		dr = 390.223750000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13508618-0.13518206) × cos(0.87777580) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63886384418597 × 6371000     		do = 390.250924739459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13508618-0.13518206) × cos(0.87771455) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.638910963826672 × 6371000     		du = 390.279707841719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87777580)-sin(0.87771455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63886384418597-0.638910963826672)×R²
    abs(0.13518206-0.13508618)×4.71196407020313e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71196407020313e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71196407020313e-05×40589641000000     		ar = 152290.795265686m²