Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34576 / 21264
↖ ↑ ↗
← N 53.278353°
E  9.931641°		 ← 365.21 m → N 53.278353°
E  9.937134°		 →
↑
365.25 m
↓
↑
365.25 m
↓
N 53.275068°
E  9.931641°		 ← 365.24 m →
133 397 m²		 N 53.275068°
E  9.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527595520019531 y=0.324470520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527595520019531 × 216)
    floor (0.527595520019531 × 65536)
    floor (34576.5)     		tx = 34576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324470520019531 × 216)
    floor (0.324470520019531 × 65536)
    floor (21264.5)     		ty = 21264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34576 / 21264 ti = "16/34576/21264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34576/21264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34576 ÷ 216
    34576 ÷ 65536     		x = 0.527587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21264 ÷ 216
    21264 ÷ 65536     		y = 0.324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527587890625 × 2 - 1) × π
    0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324462890625 × 2 - 1) × π
    0.35107421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10293218645825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17333983} λ = 0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10293218645825))-π/2
    2×atan(3.01298772599729)-π/2
    2×1.25033950348592-π/2
    2.50067900697183-1.57079632675     		φ = 0.92988268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92988268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.278353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34576 KachelY 21264 0.17333983 0.92988268 9.931641 53.278353
    Oben rechts KachelX + 1 34577 KachelY 21264 0.17343570 0.92988268 9.937134 53.278353
    Unten links KachelX 34576 KachelY + 1 21265 0.17333983 0.92982535 9.931641 53.275068
    Unten rechts KachelX + 1 34577 KachelY + 1 21265 0.17343570 0.92982535 9.937134 53.275068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92988268-0.92982535) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dl = 365.249429999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92988268-0.92982535) × R
    5.73299999999666e-05 × 6371000     		dr = 365.249429999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17333983-0.17343570) × cos(0.92988268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597928024224259 × 6371000     		do = 365.207124536433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17333983-0.17343570) × cos(0.92982535) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59797397609151 × 6371000     		du = 365.235191374959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92988268)-sin(0.92982535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597928024224259-0.59797397609151)×R²
    abs(0.17343570-0.17333983)×4.59518672508707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59518672508707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59518672508707e-05×40589641000000     		ar = 133396.819803708m²