Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3460 / 4996
↖ ↑ ↗
← S 36.738884°
W 27.949219°		 ← 3 915.89 m → S 36.738884°
W 27.905273°		 →
↑
3 914.98 m
↓
↑
3 914.98 m
↓
S 36.774092°
W 27.949219°		 ← 3 914.09 m →
15 327 106 m²		 S 36.774092°
W 27.905273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42242431640625 y=0.60992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42242431640625 × 213)
    floor (0.42242431640625 × 8192)
    floor (3460.5)     		tx = 3460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60992431640625 × 213)
    floor (0.60992431640625 × 8192)
    floor (4996.5)     		ty = 4996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3460 / 4996 ti = "13/3460/4996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3460/4996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3460 ÷ 213
    3460 ÷ 8192     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4996 ÷ 213
    4996 ÷ 8192     		y = 0.60986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.690291354528809))-π/2
    2×atan(0.501429953893483)-π/2
    2×0.464790917665676-π/2
    0.929581835331353-1.57079632675     		φ = -0.64121449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64121449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.738884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3460 KachelY 4996 -0.48780589 -0.64121449 -27.949219 -36.738884
    Oben rechts KachelX + 1 3461 KachelY 4996 -0.48703890 -0.64121449 -27.905273 -36.738884
    Unten links KachelX 3460 KachelY + 1 4997 -0.48780589 -0.64182899 -27.949219 -36.774092
    Unten rechts KachelX + 1 3461 KachelY + 1 4997 -0.48703890 -0.64182899 -27.905273 -36.774092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64121449--0.64182899) × R
    0.000614500000000073 × 6371000     		dl = 3914.97950000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64121449--0.64182899) × R
    0.000614500000000073 × 6371000     		dr = 3914.97950000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(-0.64121449) × R
    0.000766990000000023 × 0.801369878631093 × 6371000     		do = 3915.88853473907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48703890) × cos(-0.64182899) × R
    0.000766990000000023 × 0.801002152416206 × 6371000     		du = 3914.09164305747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64121449)-sin(-0.64182899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.801369878631093-0.801002152416206)×R²
    abs(-0.48703890--0.48780589)×0.000367726214886122×R²
    0.000766990000000023×0.000367726214886122×6371000²
    0.000766990000000023×0.000367726214886122×40589641000000     		ar = 15327106.423046m²