Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34816 / 18432
↖ ↑ ↗
← N 61.606397°
E 11.250000°		 ← 290.45 m → N 61.606397°
E 11.255493°		 →
↑
290.52 m
↓
↑
290.52 m
↓
N 61.603784°
E 11.250000°		 ← 290.47 m →
84 383 m²		 N 61.603784°
E 11.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531257629394531 y=0.281257629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531257629394531 × 216)
    floor (0.531257629394531 × 65536)
    floor (34816.5)     		tx = 34816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281257629394531 × 216)
    floor (0.281257629394531 × 65536)
    floor (18432.5)     		ty = 18432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34816 / 18432 ti = "16/34816/18432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34816/18432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34816 ÷ 216
    34816 ÷ 65536     		x = 0.53125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18432 ÷ 216
    18432 ÷ 65536     		y = 0.28125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53125 × 2 - 1) × π
    0.0625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19634954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28125 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Φ = 1.37444678590625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19634954} λ = 0.19634954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37444678590625))-π/2
    2×atan(3.95288932384138)-π/2
    2×1.3230153918728-π/2
    2.64603078374559-1.57079632675     		φ = 1.07523446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19634954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07523446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.606397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34816 KachelY 18432 0.19634954 1.07523446 11.250000 61.606397
    Oben rechts KachelX + 1 34817 KachelY 18432 0.19644541 1.07523446 11.255493 61.606397
    Unten links KachelX 34816 KachelY + 1 18433 0.19634954 1.07518886 11.250000 61.603784
    Unten rechts KachelX + 1 34817 KachelY + 1 18433 0.19644541 1.07518886 11.255493 61.603784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07523446-1.07518886) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dl = 290.517599999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07523446-1.07518886) × R
    4.5599999999979e-05 × 6371000     		dr = 290.517599999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19634954-0.19644541) × cos(1.07523446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		do = 290.445466009468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19634954-0.19644541) × cos(1.07518886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		du = 290.46996708996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07523446)-sin(1.07518886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475526001461152-0.475566115362733)×R²
    abs(0.19644541-0.19634954)×4.01139015807628e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01139015807628e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01139015807628e-05×40589641000000     		ar = 84383.0787284979m²