Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34817 / 18433
↖ ↑ ↗
← N 61.603784°
E 11.255493°		 ← 290.50 m → N 61.603784°
E 11.260986°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 61.601172°
E 11.255493°		 ← 290.52 m →
84 380 m²		 N 61.601172°
E 11.260986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531272888183594 y=0.281272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531272888183594 × 216)
    floor (0.531272888183594 × 65536)
    floor (34817.5)     		tx = 34817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281272888183594 × 216)
    floor (0.281272888183594 × 65536)
    floor (18433.5)     		ty = 18433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34817 / 18433 ti = "16/34817/18433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34817/18433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34817 ÷ 216
    34817 ÷ 65536     		x = 0.531265258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18433 ÷ 216
    18433 ÷ 65536     		y = 0.281265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531265258789062 × 2 - 1) × π
    0.062530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19644541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281265258789062 × 2 - 1) × π
    0.437469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37435091210701
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19644541} λ = 0.19644541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37435091210701))-π/2
    2×atan(3.9525103634904)-π/2
    2×1.32299259566917-π/2
    2.64598519133834-1.57079632675     		φ = 1.07518886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19644541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.255493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07518886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.603784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34817 KachelY 18433 0.19644541 1.07518886 11.255493 61.603784
    Oben rechts KachelX + 1 34818 KachelY 18433 0.19654129 1.07518886 11.260986 61.603784
    Unten links KachelX 34817 KachelY + 1 18434 0.19644541 1.07514327 11.255493 61.601172
    Unten rechts KachelX + 1 34818 KachelY + 1 18434 0.19654129 1.07514327 11.260986 61.601172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07518886-1.07514327) × R
    4.55899999998177e-05 × 6371000     		dl = 290.453889998839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07518886-1.07514327) × R
    4.55899999998177e-05 × 6371000     		dr = 290.453889998839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19644541-0.19654129) × cos(1.07518886) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		do = 290.500265407238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19644541-0.19654129) × cos(1.07514327) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.475606219478857 × 6371000     		du = 290.524763065927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07518886)-sin(1.07514327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475566115362733-0.475606219478857)×R²
    abs(0.19654129-0.19644541)×4.01041161245397e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.01041161245397e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.01041161245397e-05×40589641000000     		ar = 84380.4898679436m²