Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34832 / 26640
↖ ↑ ↗
← N 31.877558°
E 11.337891°		 ← 518.72 m → N 31.877558°
E 11.343384°		 →
↑
518.73 m
↓
↑
518.73 m
↓
N 31.872893°
E 11.337891°		 ← 518.75 m →
269 082 m²		 N 31.872893°
E 11.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531501770019531 y=0.406501770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531501770019531 × 216)
    floor (0.531501770019531 × 65536)
    floor (34832.5)     		tx = 34832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406501770019531 × 216)
    floor (0.406501770019531 × 65536)
    floor (26640.5)     		ty = 26640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34832 / 26640 ti = "16/34832/26640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34832/26640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34832 ÷ 216
    34832 ÷ 65536     		x = 0.531494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26640 ÷ 216
    26640 ÷ 65536     		y = 0.406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531494140625 × 2 - 1) × π
    0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406494140625 × 2 - 1) × π
    0.18701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.587514641743408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19788352} λ = 0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587514641743408))-π/2
    2×atan(1.79951042490522)-π/2
    2×1.0635823325756-π/2
    2.1271646651512-1.57079632675     		φ = 0.55636834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55636834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.877558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34832 KachelY 26640 0.19788352 0.55636834 11.337891 31.877558
    Oben rechts KachelX + 1 34833 KachelY 26640 0.19797940 0.55636834 11.343384 31.877558
    Unten links KachelX 34832 KachelY + 1 26641 0.19788352 0.55628692 11.337891 31.872893
    Unten rechts KachelX + 1 34833 KachelY + 1 26641 0.19797940 0.55628692 11.343384 31.872893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55636834-0.55628692) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dl = 518.726819999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55636834-0.55628692) × R
    8.14199999999987e-05 × 6371000     		dr = 518.726819999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19788352-0.19797940) × cos(0.55636834) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849178607242166 × 6371000     		do = 518.722009018176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19788352-0.19797940) × cos(0.55628692) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.849221602798346 × 6371000     		du = 518.748272917302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55636834)-sin(0.55628692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849178607242166-0.849221602798346)×R²
    abs(0.19797940-0.19788352)×4.29955561800366e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29955561800366e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29955561800366e-05×40589641000000     		ar = 269081.830245293m²