Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34882 / 22594
↖ ↑ ↗
← N 48.683708°
E 11.612549°		 ← 403.29 m → N 48.683708°
E 11.618042°		 →
↑
403.28 m
↓
↑
403.28 m
↓
N 48.680081°
E 11.612549°		 ← 403.32 m →
162 648 m²		 N 48.680081°
E 11.618042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532264709472656 y=0.344764709472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532264709472656 × 216)
    floor (0.532264709472656 × 65536)
    floor (34882.5)     		tx = 34882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344764709472656 × 216)
    floor (0.344764709472656 × 65536)
    floor (22594.5)     		ty = 22594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34882 / 22594 ti = "16/34882/22594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34882/22594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34882 ÷ 216
    34882 ÷ 65536     		x = 0.532257080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22594 ÷ 216
    22594 ÷ 65536     		y = 0.344757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532257080078125 × 2 - 1) × π
    0.06451416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20267721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344757080078125 × 2 - 1) × π
    0.31048583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.975420033468903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20267721} λ = 0.20267721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975420033468903))-π/2
    2×atan(2.65228102384584)-π/2
    2×1.21024365798997-π/2
    2.42048731597994-1.57079632675     		φ = 0.84969099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20267721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.612549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84969099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.683708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34882 KachelY 22594 0.20267721 0.84969099 11.612549 48.683708
    Oben rechts KachelX + 1 34883 KachelY 22594 0.20277309 0.84969099 11.618042 48.683708
    Unten links KachelX 34882 KachelY + 1 22595 0.20267721 0.84962769 11.612549 48.680081
    Unten rechts KachelX + 1 34883 KachelY + 1 22595 0.20277309 0.84962769 11.618042 48.680081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84969099-0.84962769) × R
    6.32999999999884e-05 × 6371000     		dl = 403.284299999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84969099-0.84962769) × R
    6.32999999999884e-05 × 6371000     		dr = 403.284299999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20267721-0.20277309) × cos(0.84969099) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.660215267529315 × 6371000     		do = 403.293473288847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20267721-0.20277309) × cos(0.84962769) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.660262809344464 × 6371000     		du = 403.322514276993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84969099)-sin(0.84962769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660215267529315-0.660262809344464)×R²
    abs(0.20277309-0.20267721)×4.7541815148211e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7541815148211e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7541815148211e-05×40589641000000     		ar = 162647.782011613m²