Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34944 / 22912
↖ ↑ ↗
← N 47.517200°
E 11.953125°		 ← 412.51 m → N 47.517200°
E 11.958618°		 →
↑
412.52 m
↓
↑
412.52 m
↓
N 47.513491°
E 11.953125°		 ← 412.54 m →
170 174 m²		 N 47.513491°
E 11.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533210754394531 y=0.349617004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533210754394531 × 216)
    floor (0.533210754394531 × 65536)
    floor (34944.5)     		tx = 34944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349617004394531 × 216)
    floor (0.349617004394531 × 65536)
    floor (22912.5)     		ty = 22912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34944 / 22912 ti = "16/34944/22912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34944/22912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34944 ÷ 216
    34944 ÷ 65536     		x = 0.533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22912 ÷ 216
    22912 ÷ 65536     		y = 0.349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533203125 × 2 - 1) × π
    0.06640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20862139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349609375 × 2 - 1) × π
    0.30078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.944932165310547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20862139} λ = 0.20862139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.944932165310547))-π/2
    2×atan(2.57263885851109)-π/2
    2×1.20006396514245-π/2
    2.4001279302849-1.57079632675     		φ = 0.82933160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20862139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82933160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.517200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34944 KachelY 22912 0.20862139 0.82933160 11.953125 47.517200
    Oben rechts KachelX + 1 34945 KachelY 22912 0.20871726 0.82933160 11.958618 47.517200
    Unten links KachelX 34944 KachelY + 1 22913 0.20862139 0.82926685 11.953125 47.513491
    Unten rechts KachelX + 1 34945 KachelY + 1 22913 0.20871726 0.82926685 11.958618 47.513491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82933160-0.82926685) × R
    6.47499999999468e-05 × 6371000     		dl = 412.522249999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82933160-0.82926685) × R
    6.47499999999468e-05 × 6371000     		dr = 412.522249999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(0.82933160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675368842609735 × 6371000     		do = 412.507029305072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20862139-0.20871726) × cos(0.82926685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.675416593031666 × 6371000     		du = 412.5361946788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82933160)-sin(0.82926685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675368842609735-0.675416593031666)×R²
    abs(0.20871726-0.20862139)×4.77504219311697e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77504219311697e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77504219311697e-05×40589641000000     		ar = 170174.343611886m²