Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34952 / 22664
↖ ↑ ↗
← N 48.429200°
E 11.997070°		 ← 405.29 m → N 48.429200°
E 12.002563°		 →
↑
405.32 m
↓
↑
405.32 m
↓
N 48.425555°
E 11.997070°		 ← 405.31 m →
164 277 m²		 N 48.425555°
E 12.002563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533332824707031 y=0.345832824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533332824707031 × 216)
    floor (0.533332824707031 × 65536)
    floor (34952.5)     		tx = 34952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345832824707031 × 216)
    floor (0.345832824707031 × 65536)
    floor (22664.5)     		ty = 22664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34952 / 22664 ti = "16/34952/22664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34952/22664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34952 ÷ 216
    34952 ÷ 65536     		x = 0.5333251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22664 ÷ 216
    22664 ÷ 65536     		y = 0.3458251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5333251953125 × 2 - 1) × π
    0.066650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20938838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3458251953125 × 2 - 1) × π
    0.308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.968708867522095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20938838} λ = 0.20938838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.968708867522095))-π/2
    2×atan(2.63454072139892)-π/2
    2×1.20802266528993-π/2
    2.41604533057986-1.57079632675     		φ = 0.84524900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20938838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.997070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84524900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.429200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34952 KachelY 22664 0.20938838 0.84524900 11.997070 48.429200
    Oben rechts KachelX + 1 34953 KachelY 22664 0.20948425 0.84524900 12.002563 48.429200
    Unten links KachelX 34952 KachelY + 1 22665 0.20938838 0.84518538 11.997070 48.425555
    Unten rechts KachelX + 1 34953 KachelY + 1 22665 0.20948425 0.84518538 12.002563 48.425555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84524900-0.84518538) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dl = 405.323020000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84524900-0.84518538) × R
    6.3620000000042e-05 × 6371000     		dr = 405.323020000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20938838-0.20948425) × cos(0.84524900) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663545017105883 × 6371000     		do = 405.285181292705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20938838-0.20948425) × cos(0.84518538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663592612198101 × 6371000     		du = 405.314251792944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84524900)-sin(0.84518538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663545017105883-0.663592612198101)×R²
    abs(0.20948425-0.20938838)×4.75950922179669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75950922179669e-05×40589641000000     		ar = 164277.305169618m²