Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3583 / 2561
↖ ↑ ↗
← N 55.751850°
W 22.543945°		 ← 2 750.01 m → N 55.751850°
W 22.500000°		 →
↑
2 750.93 m
↓
↑
2 750.93 m
↓
N 55.727110°
W 22.543945°		 ← 2 751.76 m →
7 567 501 m²		 N 55.727110°
W 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43743896484375 y=0.31268310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43743896484375 × 213)
    floor (0.43743896484375 × 8192)
    floor (3583.5)     		tx = 3583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31268310546875 × 213)
    floor (0.31268310546875 × 8192)
    floor (2561.5)     		ty = 2561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3583 / 2561 ti = "13/3583/2561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3583/2561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3583 ÷ 213
    3583 ÷ 8192     		x = 0.4373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2561 ÷ 213
    2561 ÷ 8192     		y = 0.3126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39346607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3126220703125 × 2 - 1) × π
    0.374755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17733025466858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39346607} λ = -0.39346607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17733025466858))-π/2
    2×atan(3.24569744008197)-π/2
    2×1.27192483136887-π/2
    2.54384966273774-1.57079632675     		φ = 0.97305334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39346607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.543945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97305334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.751850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3583 KachelY 2561 -0.39346607 0.97305334 -22.543945 55.751850
    Oben rechts KachelX + 1 3584 KachelY 2561 -0.39269908 0.97305334 -22.500000 55.751850
    Unten links KachelX 3583 KachelY + 1 2562 -0.39346607 0.97262155 -22.543945 55.727110
    Unten rechts KachelX + 1 3584 KachelY + 1 2562 -0.39269908 0.97262155 -22.500000 55.727110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97305334-0.97262155) × R
    0.000431790000000043 × 6371000     		dl = 2750.93409000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97305334-0.97262155) × R
    0.000431790000000043 × 6371000     		dr = 2750.93409000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(0.97305334) × R
    0.000766990000000023 × 0.562778243420655 × 6371000     		do = 2750.0121102331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39346607--0.39269908) × cos(0.97262155) × R
    0.000766990000000023 × 0.563135111979201 × 6371000     		du = 2751.75594604985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97305334)-sin(0.97262155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562778243420655-0.563135111979201)×R²
    abs(-0.39269908--0.39346607)×0.000356868558545331×R²
    0.000766990000000023×0.000356868558545331×6371000²
    0.000766990000000023×0.000356868558545331×40589641000000     		ar = 7567500.76822684m²