Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3584 / 2560
↖ ↑ ↗
← S 40.979898°
E135.000000°		 ← 7 378.02 m → S 40.979898°
E135.087891°		 →
↑
7 374.31 m
↓
↑
7 374.31 m
↓
S 41.046217°
E135.000000°		 ← 7 370.59 m →
54 380 373 m²		 S 41.046217°
E135.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8751220703125 y=0.6251220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8751220703125 × 212)
    floor (0.8751220703125 × 4096)
    floor (3584.5)     		tx = 3584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6251220703125 × 212)
    floor (0.6251220703125 × 4096)
    floor (2560.5)     		ty = 2560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3584 / 2560 ti = "12/3584/2560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3584/2560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3584 ÷ 212
    3584 ÷ 4096     		x = 0.875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2560 ÷ 212
    2560 ÷ 4096     		y = 0.625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Λ = 2.35619449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Φ = -0.785398163375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35619449} λ = 2.35619449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.785398163375))-π/2
    2×atan(0.455938127776231)-π/2
    2×0.427781089182652-π/2
    0.855562178365304-1.57079632675     		φ = -0.71523415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35619449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71523415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.979898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3584 KachelY 2560 2.35619449 -0.71523415 135.000000 -40.979898
    Oben rechts KachelX + 1 3585 KachelY 2560 2.35772847 -0.71523415 135.087891 -40.979898
    Unten links KachelX 3584 KachelY + 1 2561 2.35619449 -0.71639163 135.000000 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 3585 KachelY + 1 2561 2.35772847 -0.71639163 135.087891 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71523415--0.71639163) × R
    0.00115747999999993 × 6371000     		dl = 7374.30507999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71523415--0.71639163) × R
    0.00115747999999993 × 6371000     		dr = 7374.30507999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35619449-2.35772847) × cos(-0.71523415) × R
    0.00153398000000005 × 0.754939707695381 × 6371000     		do = 7378.0156320163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35619449-2.35772847) × cos(-0.71639163) × R
    0.00153398000000005 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 7370.59232331412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71523415)-sin(-0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754939707695381-0.754180133470919)×R²
    abs(2.35772847-2.35619449)×0.000759574224461934×R²
    0.00153398000000005×0.000759574224461934×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759574224461934×40589641000000     		ar = 54380373.3553459m²