Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3585 / 2559
↖ ↑ ↗
← N 55.801281°
W 22.456055°		 ← 2 746.53 m → N 55.801281°
W 22.412109°		 →
↑
2 747.43 m
↓
↑
2 747.43 m
↓
N 55.776573°
W 22.456055°		 ← 2 748.27 m →
7 548 283 m²		 N 55.776573°
W 22.412109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.43768310546875 y=0.31243896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.43768310546875 × 213)
    floor (0.43768310546875 × 8192)
    floor (3585.5)     		tx = 3585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31243896484375 × 213)
    floor (0.31243896484375 × 8192)
    floor (2559.5)     		ty = 2559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3585 / 2559 ti = "13/3585/2559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3585/2559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3585 ÷ 213
    3585 ÷ 8192     		x = 0.4376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2559 ÷ 213
    2559 ÷ 8192     		y = 0.3123779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4376220703125 × 2 - 1) × π
    -0.124755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39193209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3123779296875 × 2 - 1) × π
    0.375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17886423545642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39193209} λ = -0.39193209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17886423545642))-π/2
    2×atan(3.25068009827212)-π/2
    2×1.27235620327676-π/2
    2.54471240655352-1.57079632675     		φ = 0.97391608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39193209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.456055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97391608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.801281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3585 KachelY 2559 -0.39193209 0.97391608 -22.456055 55.801281
    Oben rechts KachelX + 1 3586 KachelY 2559 -0.39116510 0.97391608 -22.412109 55.801281
    Unten links KachelX 3585 KachelY + 1 2560 -0.39193209 0.97348484 -22.456055 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 3586 KachelY + 1 2560 -0.39116510 0.97348484 -22.412109 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97391608-0.97348484) × R
    0.000431239999999944 × 6371000     		dl = 2747.43003999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97391608-0.97348484) × R
    0.000431239999999944 × 6371000     		dr = 2747.43003999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39193209--0.39116510) × cos(0.97391608) × R
    0.000766990000000023 × 0.562064886351038 × 6371000     		do = 2746.52629569904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39193209--0.39116510) × cos(0.97348484) × R
    0.000766990000000023 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 2748.26893341315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97391608)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562064886351038-0.562421509722991)×R²
    abs(-0.39116510--0.39193209)×0.000356623371953302×R²
    0.000766990000000023×0.000356623371953302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000356623371953302×40589641000000     		ar = 7548282.85503549m²