Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3585 / 2561
↖ ↑ ↗
← S 41.046217°
E135.087891°		 ← 7 370.59 m → S 41.046217°
E135.175781°		 →
↑
7 366.85 m
↓
↑
7 366.85 m
↓
S 41.112469°
E135.087891°		 ← 7 363.17 m →
54 270 710 m²		 S 41.112469°
E135.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8753662109375 y=0.6253662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8753662109375 × 212)
    floor (0.8753662109375 × 4096)
    floor (3585.5)     		tx = 3585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6253662109375 × 212)
    floor (0.6253662109375 × 4096)
    floor (2561.5)     		ty = 2561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3585 / 2561 ti = "12/3585/2561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3585/2561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3585 ÷ 212
    3585 ÷ 4096     		x = 0.875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2561 ÷ 212
    2561 ÷ 4096     		y = 0.625244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35772847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.25048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.786932144162842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35772847} λ = 2.35772847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786932144162842))-π/2
    2×atan(0.455239263606924)-π/2
    2×0.427202348955508-π/2
    0.854404697911016-1.57079632675     		φ = -0.71639163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35772847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.087891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71639163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.046217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3585 KachelY 2561 2.35772847 -0.71639163 135.087891 -41.046217
    Oben rechts KachelX + 1 3586 KachelY 2561 2.35926245 -0.71639163 135.175781 -41.046217
    Unten links KachelX 3585 KachelY + 1 2562 2.35772847 -0.71754794 135.087891 -41.112469
    Unten rechts KachelX + 1 3586 KachelY + 1 2562 2.35926245 -0.71754794 135.175781 -41.112469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71639163--0.71754794) × R
    0.00115631000000005 × 6371000     		dl = 7366.85101000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71639163--0.71754794) × R
    0.00115631000000005 × 6371000     		dr = 7366.85101000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35772847-2.35926245) × cos(-0.71639163) × R
    0.00153398000000005 × 0.754180133470919 × 6371000     		do = 7370.59232331412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35772847-2.35926245) × cos(-0.71754794) × R
    0.00153398000000005 × 0.753420318147633 × 6371000     		du = 7363.16665835637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71639163)-sin(-0.71754794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754180133470919-0.753420318147633)×R²
    abs(2.35926245-2.35772847)×0.000759815323285729×R²
    0.00153398000000005×0.000759815323285729×6371000²
    0.00153398000000005×0.000759815323285729×40589641000000     		ar = 54270709.6645076m²