Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35856 / 23568
↖ ↑ ↗
← N 45.026951°
E 16.962891°		 ← 431.73 m → N 45.026951°
E 16.968384°		 →
↑
431.76 m
↓
↑
431.76 m
↓
N 45.023068°
E 16.962891°		 ← 431.76 m →
186 413 m²		 N 45.023068°
E 16.968384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.547126770019531 y=0.359626770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.547126770019531 × 216)
    floor (0.547126770019531 × 65536)
    floor (35856.5)     		tx = 35856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359626770019531 × 216)
    floor (0.359626770019531 × 65536)
    floor (23568.5)     		ty = 23568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35856 / 23568 ti = "16/35856/23568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35856/23568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35856 ÷ 216
    35856 ÷ 65536     		x = 0.547119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23568 ÷ 216
    23568 ÷ 65536     		y = 0.359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.547119140625 × 2 - 1) × π
    0.09423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29605829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359619140625 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29605829} λ = 0.29605829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882038953009033))-π/2
    2×atan(2.41582043248794)-π/2
    2×1.17833243215876-π/2
    2.35666486431752-1.57079632675     		φ = 0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29605829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.962891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35856 KachelY 23568 0.29605829 0.78586854 16.962891 45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 35857 KachelY 23568 0.29615417 0.78586854 16.968384 45.026951
    Unten links KachelX 35856 KachelY + 1 23569 0.29605829 0.78580077 16.962891 45.023068
    Unten rechts KachelX + 1 35857 KachelY + 1 23569 0.29615417 0.78580077 16.968384 45.023068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78586854-0.78580077) × R
    6.77699999999115e-05 × 6371000     		dl = 431.762669999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78586854-0.78580077) × R
    6.77699999999115e-05 × 6371000     		dr = 431.762669999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29605829-0.29615417) × cos(0.78586854) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 431.734002865498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29605829-0.29615417) × cos(0.78580077) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.706822038027221 × 6371000     		du = 431.763288025511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78586854)-sin(0.78580077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.706822038027221)×R²
    abs(0.29615417-0.29605829)×4.79415389371685e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79415389371685e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79415389371685e-05×40589641000000     		ar = 186412.947997741m²